Konvergenz einer geometrische Reihe?

Warum ist der Grenzwert dieser geometrischen Reihe nicht 1/(1-x/2) ? Und wie funktioniert die unten rosa markierte Umformung?

Answer 1

[Rammstein53]

Die geometrische Reihe sum( q^k ) konvergiert für k = { 0 ... inf } und |q| < 1 gegen 1/(1-q).

In der Aufgabe beginnt der Index jedoch bei k=1. Deshalb konvergiert diese Reihe gegen

$\frac{1}{1-q\ }\ -q^0=\frac{1}{1-q\ }-1=\frac{q}{1-q}$

Setzt man q=x/2 erhält man als Grenzwert x/(2-x), sofern |x/2| < 1

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Für die Aufgabe spielt der Indexbeginn keine Rolle, da man sich nur für die Konvergenz der Folge f(n) interessiert.

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In der handschriftlichen Lösung in der zweiten Zeile muss der maximale Summenindex n lauten, nicht inf.

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Eine Teilsumme der geometrischen Reihe sum( q^k ) für k = { 0 ... n } ergibt den Wert

$\frac{\left(q^{n+1}\ -\ 1\right)}{q-1}$

Zu zeigen ist, dass der | f(n ) - f | für n --> inf gegen 0 konvergiert.

$\frac{\left(q^{n+1}\ -1\right)}{q-1}\ -\ \frac{1}{\left(1-q\right)}\ =\ \frac{q^{n+1}}{q-1}$

Wegen q < 1 und dem konstanten Nenner ist das der Fall.