Konvergenz einer Reihe mit Sinus
Hallo, folgende Reihe stellt für mich bei der Konvergenzbestimmung ein problem da.
SUM(n=1,infinity) (sin(n^2+1)/n!)
mit bestimmten Tests, bspw ganz simpel an gegen unendlich, komme ich auf an=0 wodurch die Reihe konvergieren müsste. Die Überprüfung mit Wolframalpha gibt mir aber ein "inconclusive" also ergebnislos aus. was stimmt den nun? Wie würde ich das beweisen?
3 Antworten
Achtung: an=0 ist nur ein notwendiges, aber nie ein hinreichendes Kriterium. D.h. jede konvergente Reihe muss an->0 haben, aber aus an->0 folgt niemals direkt, dass die Reihe auch konvergiert. Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe.
Ich würde hier versuchen, eine Reihenentwicklung einzusetzen, d.h. ein paar Terme vom Sinus (den Rest in der Landau-O-Notation) und schauen, ob man dadurch die Reihe abschätzen kann (per "<=" zu einer konvergenten Reihe). D.h. Majorantenkriterium.
Versuche dabei, wenn möglich, zu einer Reihe der Form Summe 1/n^(alpha) abzuschätzen, wo alpha >= 2 ist - in diesem Fall hat man stets Konvergenz.
I.A. ist es so, dass n! schneller gegen 0 geht als jede Potenz. Versuche per Google Abschätzungen für die Fakultät zu finden. Eine, die ich z.B. kenne, wäre die Stirlingformel. Da dies jedoch nur eine Näherung ist, kannst du das nicht wirklich gebrauchen beim Majorantenkriterium.
EDIT: Manchmal hab ich auch ordentlich ein Brett vorm Kopf. sin(x) <= n für alle x, damit bist du sofort fertig, weil n! >= n^2. Siehe Antwort von lks72. Ich lasse meine Antwort dennoch stehen, sind ein paar Tipps drin, die evtl. bei anderen Aufgaben weiterhelfen :)
Richtig. Abgesehen von dem Brett vor dem Kopf :-) :-) sind die Tipps nützlich.
Die Reihe ist sogar absolut konvergent, denn es gilt:
|sin(...)/n!| < 1/n!, und diese Reihe ist absolut konvergent.
p.s. Musst du oben rechts das auch beweisen? (ist ja nur die Exponentialreihe für x =1
Note: Kann ich sin(n) auch einfach als |sin(n)|<=1 betrachten, um dann mit der konvergenz von 1/n!=e als Majorante argumentieren?
Tippfehler sin(x) <= 1