Grenzwert einer Reihe mit Fakultäten?
Die Reihe ist auf den ersten Blick keine geometrische oder eine ähnliche bekannte Reihe. Ich habe zunächst versucht, die Fakultäten zu kürzen, allerdings hat das die Sache eher noch komplizierter gemacht.
Wie kann man hier herangehen, um den Grenzwert zu berechnen? Mir fehlt irgendwie der Ansatz. Ein Bekannter sagte mir, wenn Fakultäten im Nenner stehen, dann sieht das oft nach e-Funktion aus.
Wahrscheinlich muss man hier an der richtigen Stelle das Richtige ausklammern, aber wie?
2 Antworten
Man kann von einer bekannten Reihe ausgehen, in diesem Fall der erzeugenden Funktion der mittleren Binomialkoeffizienten,
Summe( k=0, unendlich) (2k über k) x^k = 1 / Wurzel( 1 - 4x ),
und dann diese "customizen", etwa wie folgt,
Substitution (x/2)^2 für x,
Summe( k=0, unendlich) (2k über k) (x/2)^(2k) = 1 / Wurzel( 1 - x^2 ),
Multiplikation mit x/2,
Summe( k=0, unendlich) (2k über k) (x/2)^(2k+1) = x/2 / Wurzel( 1 - x^2 ),
Integration, (rechte Seite mit passender Konstante, so dass x=0 zu 0 führt),
2 * Summe( k=0, unendlich) (2k über k) (x/2)^(2k+2) / (2k+2) = 1/2 - Wurzel( 1 - x^2 ) / 2,
Zweier kürzen,
Summe( k=0, unendlich) (2k über k) x^(2(k+1)) / 2^(2k+1) / (k+1) = 1 - Wurzel( 1 - x^2 )
Dabei ist (2k über k) / (k+1) = (2k)! / k! / (k+1)!
Das Ergebnis ist also 1 - Wurzel( 1 - x^2 ), selbstredend für |x|<1
Gerne. Das Quotientenkriterium dient zur Prüfung der Konvergenz, aber nicht zur Berechnung des Grenzwerts. Eine "klassische Art" der Grenzwertberechnung gibt es m.E. nicht.
Versuchs nochmal mit dem kürzen der Fakultäten. Da kannst du einiges machen.
Danke für die ausführliche Antwort.
Die Lösung über Integration habe ich (leider) erwartet und das ist natürlich auch vollkommen korrekt!
Allerdings wollte ich hier eigentlich wissen, wie man sowas auf die klassische Art angehen würde, also z.B. Grenzwertberechnung mit Quotientenkriterium. Mir fehlt dafür irgendwie der richtige Ansatz.
Trotzdem, vielen Dank für die Mühe!