Gehört Null zu den natürlichen Zahlen?
10 Antworten
Hi,- ich bin der Meinung, dass in jeder mathematischen Aussage auch eine philosophische Annahme über die wechselwirksame Struktur einer "gestalteten" Welt als physikalischer bzw. diskriminativ-strukturierender Sachverhalt steckt. Aus meiner Sicht ist da Mathematik nur die axiomatische Formelsprache - also eine Art abstrahierende Meta-Sprache zur Beschreibung dieser Sachverhalte.
Also: wenn ich Beispielsweise mal die mathematisch bestehende Unterscheidung von "Wert" und "Betrag" betrachte und dies in Systeme übertrage, in welchen die Nullstelle oder auch die getaktete Nullstelle z. B. als Nichtimpuls pro Zeiteinheit in Relation zu Impulstakten auch als Mehrfach-Nichtimpuls betrachte so wäre die Null auch eine Information und gerechnet auf die Zeiteinheit eines Impulses sogar addierbar. (Morsealphabet / Strom / Licht etc. -- Themenbereich: Information)
Kurzum: eine Nicht-Information wäre auch eine Information weil sie zur Konfiguration von Steuerungen oder Diskrimination zur Strukturbildung und damit zu Information genauso beiträgt wie ein Impuls. Wenn Zahlen also grundsätzlich mathematische Einheiten sind, die auch eine physikalische bzw. strukturgebende Entsprechung als Betrag haben dann ist auch der 0-Wert als das Fehlen eines Betrages der Unterschied zwischen -1 und +1 oder aber das Fehlen von +1 pro Zeiteinheit in einem getakteten System. - Die Null wäre demnach eine (natürliche) Zahl.
Gruß
Hi,- das Problem fängt ja schon bei der Unterscheidung zwischen "natürlich", "reell", "irrational" und "rational" an. Für mich sind das alles natürliche Zahlen mit jeweils eigenen Zusatzeigenschaften. - Es gibt keine Zahlen "ohne" Zahlenstrahl" (Betrag). Der Rest ist eine Kalamität, die aus den Formalismen der Mathematik als Formalsprache, also aus der Auseinandersetzung mit sich selbst stammt - also eher ein metatheoretisches Problem von Zeichensystemen, die sich selbst bezeichen. Und wie du schon sagst: die Null kann sehr wohl einen Betrag definieren: den Null-Betrag, so, wie ich auch über leere Mengen sprechen / philosophieren kann.
Streng genommen kann man sie als "Nicht-Addition" oder "Nicht-Subtraktion" einer unendlichen / einer nicht definierten Menge von 1en zu oder von einer Zahl "X" ansehen. Insofern erfüllt sie, wie jede andere Zahl auch ihre Betragsfunktion auf dem Zahlenstrahl - quasi als "Nicht-Eins". Die "Eins" kann ja letztlich auch als betragsbezogener Definitionsrahmen für eine unendliche Zahl von Quotienten / Brüchen gesehen werden. Die Null ist so gesehen nur die "Antipode".
Im Rahmen informationstheoretischer oder physikalischer Betrachtungen ist die Null sogar eine konkrete Information, auch im Sinne eines Betrages wenn für Eins ein bestimmtes Zeitintervall gilt. Dann ließe sich sogar eine Pause entsprechend ihrer Dauer als eine "Summe von Nicht-Ein´sen (Nullen) betragsmäßig aufaddieren und summenbezogen als jeweils diskrete Größe einer informationellen Aussage oder einem physikalischen Zustand zuordnen.
Gruß
Je nach Definition ja bzw. nein.
Ob 0 ∈ ℕ ist nicht eindeutig zu sagen, man kann die Menge ℕ so definieren, muss man aber nicht.
Es gibt aber die Menge ℕ₀, in der die Null explizit enthalten ist - wenn du also eine eindeutige Aussage über die natürlichen Zahlen mit der Null machen möchtest, dann nimm ℕ₀.
ℕ₀ entspricht in seiner Darstellung ℤ₀⁺, also den positiven ganzen Zahlen, inklusive der Null.
LG Willibergi
Streng genommen kann die 0 keine natürliche Zahl sein, da es in der Natur weder 0 noch unendlich gibt. Das sind menschliche Artefakte. die allerdings die Mathematik deutlich erleichtern.
Erfunden wurde die 0 in Indien und ist über die Araber zu uns gekommen.
aber 1 + -1 ist null. das müssen doch nicht erst iwelche inder erfinden
Die Zahl -1 ist aber auch keine natürliche Zahl! - Versuche mal die Null mit römischen Zahlen zu schreiben.
Genau das war das Problem....
In Europa war zunächst nur die Rechnerei ala Babylon oder im Stil der Römer möglich und keiner kannte die 0. Trotzdem konnten die rechnen.
1 -1 zu rechnen ging erst, als die Null erfunden war. Davor war das nicht möglich. Daher hat die Null so eine enorme Bedeutung für die Mathematik. Erst mit ihr war auch das Dezimalsystem möglich.
Da vermischt du jetzt aber was. Im Dezimalsystem hat die Null als Ziffer eine Bedeutung; das man schreibt 9 + 1 = 10.
@ Pu11over
Im gesamten Mittelalter wurde in Europa mit römischen Ziffern (ohne Null) und nach den römischen Rechenregeln gearbeitet.
Erst Adam Riese schaffte die römischen Ziffern ab (um 1520) und führte die arabischen Ziffern sowie das Dezimalsystem ein. Bei der Gelegenheit fand auch die Null den Weg in die europäische Mathematik.
In seinem ersten Rechenwerk, das hauptsächlich um die 4 Grundrechenarten mit ganzen und gebrochenen Zahlen geht, kommt die 0 zwar in den Zahlen vor, aber noch nicht in den Rechnungen, die sich an Alltagsproblemen orientierten.
Wie kommst du darauf, dass es in der Natur keine Null gibt?
Nichts entspricht einer Anzahl von Null.
Eben. Und weil nichts dem in der Natur entspricht. Gibt es sie dann auch nicht. Irgendwie logisch.
Naja, wenn es keine Wolken am Himmel gibt, gibt es 0 Wolken am Himmel. Wenn es keine Löwen in der Umgebung gibt, gibt es 0 Löwen in der Umgebung.
Verstehst du? Es gibt definitiv "nichts" in der Umgebung.
Aber es gibt doch Wolken und Löwen gibt es auch. Bloß bei Wolken denke ich eher an Möwen als an Löwen, sorry! - Meines Wissens lässt sich ein absolutes Vakuum auf der Erde nicht herstellen.
Im alten Europa galt:
Wenn es keine Wolken gibt, braucht man auch nicht mit Wolken zu rechnen.
Wenn es keine Löwen gibt, braucht man mit Löwen auch nicht zu rechnen.
Dein Denkfehler liegt darin, eine Nichtexistenz mit einer natürlichen Existenz gleichzusetzen. Beide schließen sich aber gegenseitig aus und die natürlichen Zahlen beschreiben nur das, was in der Natur vorkommt, aber nicht das, was nicht vorkommt.
Und das war die Leistung der Inder: einen mathematischen Begriff dafür einzuführen, dass es etwas nicht gibt, eben die 0.
Also das mit den Löwen kann ich mir ja auf einer Insel noch vorstellen, aber das mit den Wolken?
Zu unterscheiden:
IN = Natürliche Zahlen
und
IN0 = Natürliche Zahlen einschließlich 0
(Die "0" ist bei dem N unten rechts klein geschrieben wie ein ²)
Daher ist die 0 nicht unter den Natürlichen zahlen außer diese wird durch IN0 mit eingeschlossen.
Es kommt drauf an wo du wohnst! Nicht jedes Bundesland schreibt die Formelzeichen gleich aber unterm strich gibts so viele und alle bedeutendas selbe
Bei uns:
IN = Natürlich Zahlen {1, 2, 3, ...
IN0 = Natürliche Zahlen einschließlich 0 {0, 1, 2, 3 ...}
IN* = negative ganze Zahlen {-1, -2, -3 }
Dabei kann man die auch N+, N>0, N1,... schreiben
Daher ist die 0 nicht unter den Natürlichen zahlen
Das stimmt nicht immer. Ob 0 ∈ ℕ, ist definitionsabhängig.
Ursprünglich gehörte sie nicht dazu (Peano-Axiome). Die 0 erwies sich erst später als zweckdienlich.
Es kommt also darauf an, wie nostalgisch der Mathematiker ist, den du fragst.
Es gibt Definitionen, die machen deutlich, dass davon ausgegangen wird, dass IN ohne Null ist. Das erkennst du daran, wenn von N* oder N>= die Rede ist.
Andere Definition gehen davon aus, dass die 0 dazu gehört. Dort werden dann extra IN+ erwähnt, also nur die positiven Natürlichen Zahlen.
Aber Mathe ist doch eindeutig und widerspruchsfrei, wie kann das sein?
Der Mathematik liegen Axiome zugrunde. Das sind Voraussetzungen. Auf Basis der Axiome werden dann widerspruchsfreie Sätze abgeleitet.
Innerhalb eines Axiommodells ist die Mathematik widerspruchsfrei.
Ein Widerspruch entstünde, wenn man beide Axiome zugleich voraussetzen würde. Die 0 kann nicht gleichzeitig Element von IN sein und nicht Element von IN.
Ich verstehe nicht alles auf Anhieb. Vor allem
ergibt für mich nicht auf Anhieb Sinn, und erst recht ist mir nicht klar, inwiefern dies zeigt, dass die Null eine natürliche Zahl ist.
Außerdem habe ich den Eindruck, Du unterscheidest nicht so genau zwischen der Ziffer '0', die gleichsam eine Leerstelle markiert, und der Zahl Null.
Grundsätzlich gibt es ein Argument dafür und eines dagegen:
Ist übrigens ein Gegenstand ein Mal in einem betrachteten Raum vorhanden, so ist der Anfang des Zählens zugleich das Ende; deshalb waren sich griechische Philosophen uneins, ob selbst die Eins eine Zahl sei.
Die Null nimmt unter den Zahlen schon eine Sonderstellung ein, nicht nur unter den natürlichen, sondern auch unter den reellen und sogar den komplexen. Sie ist der große Plattmacher unter den Zahlen und hat als einzige Zahl keinen Kehrwert (nicht einmal in der Nichtstandard-AnaIysis, die infinitesimale und unendlich große Zahlen kennt). Gleichwohl ist sie eine Zahl, und im weiteren Sinne auch eine natürliche Zahl.
Ich plädiere dafür, die natürlichen Zahlen einschließlich der Null als Natürliche Zahlen und die ausschließlich der Null als Echte Natürliche Zahlen zu bezeichnen.