Ganzrationale Funktion bestimmen mit Hochpunkt und Tiefpunkt?
Hallo, Aufgabe: Bestimmen Sie zu den abgebildeten Graphen jeweils eine mögliche Funktionsgleichung. Überlegen Sie zunächst, welchen Graf die Funktion haben könnte. Bild ist im Anhang. Also die Funktion im Bild ist Funktion 3.ten Grades. H (0/0) und T (2/-4), da kann man sagen, dass m= 0 ist, weil es ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt ist. (Ist das richtig?)
I. f(0)= 0 II. f(2)= -4 III.f'(0)= 0 -> HP m=0 IV.f'(2)= 0. -> TP m=0
Danach diese Werte in die Funktion einsetzten und aufschreiben mit den römischen Zahlen.
I. 0= a0^3+ b0^2 +c0+d II. 2= a2^3+b2^2+c2+d III. 0= 3a0^2+2b0+c IV 0=3a2^2+2b2+c
Danach Additionverfahren oder ein anderes Verfahren nutzen. Aber da hackt es schon. Ich bin mir nicht sicher ob erstens die Funktion richtig aufgestellt ist und wie genau ich das mache dem Verfahren.
Ist das denn bis dahin so richtig? Weiter kann ich nicht rechnen, da wir in der Schule mit WP, P und m gemacht haben. Irgendwie kann ich es nicht auf diese Aufgabe übertragen..
Ich hoffe jemand erklärt wie ich jetzt weiter vorgehen muss. Danke im Voraus.
3 Antworten
Es gibt hier auch die Möglichkeit, Zeilenvorschub zu machen. So ist dein Text ja Kraut und Rüben. Deshalb zeige ich dir gleich die Ansätze, die ich machen würde, ohne deine zu prüfen.
Aus der Tatsache eines Hoch- und Tiefpunktes kann man vom 3. Grad ausgehen. Es werden also 4 Gleichungen gebraucht.
Aufstellung von Funktion und Ableitung:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f '(x) = 3ax² + 2bx + c
Gegeben:
H (0/0) und T (2/-4) Das sind sowohl 2 Kurvenpunkte als auch 2 Angaben
für die erste Ableitung:
I x = 0 d = 0
II x = 2 8a + 4b + c = -4 wenn ich d = 0 schon einbeziehe
III x = 0 c = 0 aus 1. Ableitung
IV x = 2 12a + 4b = 0 wenn ich c = 0 einbeziehe
Reduziert wird aber auch Gleichung II, sodass ich jetzt noch habe:
II 8a + 4b = -4
IV 12a + 4b = 0
Und das ist ja leicht zu lösen. c und d entfallen ohnehin.
Bei II muss links vom Gleichheitszeichen -4 stehen, ansonsten hast du das Gleichungssystem richtig aufgestellt.
Aus I und III kannst du d bzw c direkt ablesen und kannst die entsprechenden Werte in II und IV einsetzen. Es bleiben also 2 lineare Gleichungen und 2 Variablen übrig.
Hierführ braucht man Spezialwissen,wie ich es habe.
Solch ein Graph ist nur mit y=f(x)=a3*x³+a2*x² möglich
abgeleitet f´(x)=3*a3*x²+2*a2*x nun Werte einsetzen
1. a3*2³+a2*2²=-4 aus den T(2/-4) also x=2 und f(2)=-4
2.f´(x)=0=3*a3*2²+2*a2*2=0 aus der Ableitung und den T(2/-4) x=2 f´(2)=0
wir haben nun ein "lineares Gleichungssystem" (LGS) mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen,also lösbar.
dies schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht.
1.8*a3+4*a2=-4
2. 12*a3+4*a2=0 Lösung a3=1 und a2=-3
gesuchte Funktion y=f(x)=x³-3*x²
Herleitung:
f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao mit H(0/0) x=0 ist ao=0
bleibt f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x abgeleitet
f´(x)=0=3*x²+2*a2*x+a1 mit H(0/0) ist auch hier x=0 also auch a1=0
bleibt also nur noch f(x)=a3*x³+a2*x²