Für welche Werte des Parameters a liegt eine eindeutige Lösung vor?
1: 3x-6y=4 2: 4x-ay=a-1
Nach mehrmaligem durchrechnen kam ich immer auf das Ergebnis,dass a nicht -a sein darf, da man sonst durch 0 teilt... Auf dem lösungszettel steht allerdings,dass a nicht 8 sein darf... Habe ich einen Fehler gemacht oder ist die Lösung einfach falsch?
5 Antworten
Habt ihr schon die Determinante eines LGS kennengelernt? (Die Koeffizienten der Variablen werden als Matrix geschrieben und von dieser Matrix die Determinante gebildet. - In der allgemeinen Lösung tritt die Determinante im Nenner auf (Cramersche Regel))
Wenn die Determinante ≠ 0 ist, ist die Lösung eindeutig.
Wenn die Determinante = 0 ist, gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen.
Hier:
| 3 -6 |
| |
| 4 -a |
= 3 * (-a) - (-6) * 4 (Berechnung einer 2x2-Determinante)
= -3 a + 24
Der Kritische Wert für a ist der, bei dem die Determinante 0 wird.
Natürlich kommt man auch auf andere Weise auf das Ergebnis, wenn man aber einmal die Matrixschreibweise für LGS kennt, ist der Weg über die Determinante der einfachste und schnellste.
Zu "deinem Ergebnis": Eine Zahl a kann niemals gleich -a sein, außer wenn a=0 ist ;-) Das gilt ganz allgemein, unabhängig von dieser Aufgabe.
1. Gleichung nach x auflösen: x = 2y + 4/3
Einsetzen in 2. Gleichung:
8y + 16/3 -ay = a-1
(8-a)y = a - 19/3
Für a=8 würde das eine ungültige Gleichung ergeben:
0= 8 - 19/3
I. 3x-6y=4 | *4
II. 4x-ay=a-1 | *3
I. 12x-24y=16
II. 12x-3ay=3a-3
I-II:
-24y-(-3ay) = 16-(3a-3)
-24+3ay=19-3a
(-24+3a)y = 19-3a | :(-24+3a)
y= (19-3a)/(-24+3a)
Wie man sieht ist dieser Ausdruck undefiniert, wenn a=8 gilt.
Der Lösungszettel hat also recht.
Hallo,
man kann auch folgendermaßen einsehen, dass 8 ausgeschlossen werden muss, damit die Lösung eindeutig ist (bzw. damit überhaupt eine Lösung existiert).
(*) ax + by = c
ist die allgemeine Gleichung einer Geraden in der Ebene (Koordinatenform).
Der Vektor N mit den Koordinaten (a;b) ist dabei ein Normalenvektor, ein Vektor, der auf einem Richtungsvektor der durch (*) definierten Geraden senkrecht steht.
Nun zu unserer Aufgabe:
(1) 3x - 6y = 4
(2) 4x - ay = a-1
Ist a = 8, dann lautet Gleichung (2) : 4x - 8y = 7 ;
d.h. der Normalenvektor N' mit den Koordinaten (4; -8) und der Vektor N mit Koordinaten (3; -6) sind kollinear. Das bedeutet, dass die Geraden, die durch die Gleichungen (1) und (2) definiert sind, parallel sind.
Zwei parallele Geraden stimmen entweder überein, haben also unendlich viele Punkte gemeinsam, oder sie sind "echt" parallel und schneiden sich nicht.
Im ersten Fall (Übereinstimmung) hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, im zweiten keine.
Gruß
Der Lösungszettel liegt völlig richtig.
a darf nicht 8 betragen, sonst teilst du durch 0.
Danke kann mir für später helfen :)