Für welche Werte des Parameters hat das LGS wieviele Lösungen?
Hey!
Ich habe eine kurze Frage. Diese Woche haben wir die Aufgabe, das LGS
x + 2z = 0
ay + z = a − 3
x + az = 6
in Abhängigkeit des Parameters a zu lösen. Soweit so gut, dies sind meine Ergebnisse:
Jetzt sollen wir angeben, für welche Werte des Parameters das LGS keine Lösung/eine Lösung/unendlich viele Lösungen hat.
Aus den Werten für x,y und z kann man ja schon ablesen, dass das LGS für a=2 keine Lösung haben wird.. Aber wie berechnet man die anderen Fälle?
Vielen Dank für jede Hilfe!
2 Antworten
zunächst mal auf Stufenform bringen
1 0 2 | 0
0 a 1 | a-3
0 0 2-a|-6
anhand der dritten Zeile kann man folgendes sagen
für a=2 gibt es keine Lösung weil 0 0 0 | -6
in der dritten Zeil kann die rechte Seite nicht null werden und somit kann die ganze Zeile nicht null sein, also aufgrund der dritten Zeile sind keine unendliche viele Lösungen möglich
in der zweiten Zeile steht a in der Diagonalen. Es muss also noch der Fall a=0 beachtet werden:
1 0 2 | 0
0 0 1 | -3
0 0 2 | -6
die dritte Zeile ist ein Vielfaches von der zweiten, fällt also bei einer Umformung weg:
1 0 2 | 0
0 0 1 | -3
0 0 0 | 0
für a=0 gibt es also unendlich viele Lösungen
wenn er Parameter in der Stufenform in der Diagonalen vorkommt, muss immer der Sonderfall, dass der Ausdruck in der Diagonalen null wird, beachtet werden. Steht a in der Diagonalen, dann prüft man den Fall a=0. Würde a+2 in der Diagonalen stehen, dann prüft man den Fall a=-2. Ausserdem muss man beim Umformen immer drauf achten, dass man eine Gleichung (Zeile) nicht mit null multipliziert. Wenn man mit einem Ausdruck multipliziert, in dem der Parameter vorkommt, dann muss man diesen Fall immer extra untersuchen. Multipliziert man eine Zeile z.B. mit a+1, dann darf a nicht -1 sein, die Umformung ist nur für a ungleich -1 gültig. Den Fall a=-1 muss man durch einsetzen von -1 in der Ausgangsgleichung untersuchen
man muss den Wert für a einsetzen, bei dem das Diagonalelement null wird (hier a=0) dann formt man das LGS wie üblich um. Und wenn eine Zeile komplett null wird, dann gibts unendlich viele Lösungen. Wenn in einer Zeile links alles null ist, rechts aber nicht, dann gibts keine Lösung. Wenn die Umformung auf eine ganz normale Stufenform führt, bei dem kein Diagonalelement null wird, dann hat das LGS eine eindeutige Lösung
Ah ok vielen Dank! Und wie ist das, wenn a nicht in der Diagonalen vorkommt? Hat das LGS dann keine unendlich viele Lösungen oder teste ich das dann anders?
wenn in der Diagonalen nirgends a (bzw. ein Term mit a) vorkommt, dann brauchst du keine Sonderfälle überprüfen, sondern nur die letzte Zeile der Stufenform anschauen. Steht dort z.B.
0 0 a²-1 | a+1
dann gibts für a=-1 unendlich viele Lösungen, weil die ganze Zeile null ist
für a=1 gibts keine Lösung wegen 0 0 0 | 2
für alle anderen a gibt es eine eindeutige Lösung
Während der Umformung beim multiplizieren oder dividieren von Zeilen immer drauf achten, dass nicht mit 0 multipliziert oder durch 0 dividiert wird.
Muss man eine Zeile mit a multiplizieren, dann gilt die Umformung nur für alle a ungleich 0. Der Fall a=0 (also wenn man mit null multiplizieren würde) muss man extra betrachten, in dem man a in die Ausgangsgleichungen einsetzt und dann das LGS normal umformt
am einfachsten geht das mit der Cramer´schen Regel,siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.
1) 1*x+0*y+2*z=0
2) 0*x+a*y+1*z=a-3
3) 1*x+0*y+a*z=6
Koeffizientendeterminate D
1.te Reihe 1 0 2
2.te Reihe 0 a 1
3.te Reiche 1 0 a
wenn D≠0 → dann eindeutige Lösung
D kann man mit der Regel vob Sarrus berechnen (gilt nur für 3 mal 3 Determinaten)
Determinante Dx
1.te Reihe 0 0 2
2.te Reihe (a-3) a 1
3.te Reihe 6 0 a
Unbekannte x=Dx/D
Determinante Dy
1.te Reihe 1 0 2
2.te Reihe 0 (a-3) 1
3.te Reihe 1 6 a
Unbekannte y=Dy/D
Determinante Dz
1.te Reihe 1 0 0
2.te Reihe 0 a (a-3)
3.te Reiche 1 0 6
Unbekannte z=Dz/D
D=0 und Dx=0 ergibt dann 0/0 → unendliche Lösungungsmenge (abhängige Gleichungen)
D=0 und Dxk≠0 ergibt dann z.Bsp. 2/0 → Widerspruch (Unsinn)
aus 3) x=6-a*z in 1)
6-a*z+2*z=0
z*(-a+2)=-6
z=-6/(-a+2) wenn a=2 → -2+2=0 → z=-6/0 nicht Definiert Widerspruch (Unsinn)
unendlich viele Lösungen,wenn Dx/D=0/0 oder Dy/D=0/0 oder Dz/D=0/0
so auf Anhieb sehe ich das nicht
Vielen Dank! Wir haben die Determinante noch nicht in den Vorlesungen durchgenommen und sollen sie erstmal nicht benutzen, aber deine Antwort leuchtet mir ein :)
Vielen Dank! Also das erste verstehe ich :)
Aber was heißt
? muss man wenn a vorkommt a=0 setzen und wenn da 0=0 rauskommt, gibt es unendlich viele Lösungen? Und ergibt der Rest der Werte, die man für a einsetzen kann dann einfach 1 Lösung?