LGS, Polynom?
Hey zusammen,
könntet ihr mir dabei behilflich sein? Und wie kann man ohne graphischer Darstellung bei einem LGS bestimmen, ob es keine oder unendlich Lösungen gibt?
Vielen Dank
3 Antworten
Hallo.
Die übliche Vorgehensweise, um Lösungen oder Lösungsräume (z.B. eine Gerade) bei Linearen Gleichungssystemen zu bekommen, ist, dieses Gleichungssystem in eine Dreiecksform zu bringen.
Ziel dabei ist es, zu einer Gleichung eine andere so geschickt zu addieren, dass eine der Variablen in der ersten Gleichung den Vorfaktor 0 hat.
Ein Beispiel zu diesem sogenannten "Gaußschen Eliminationsverfahren" oder auch "Gauß-Algorithmus" findest Du unter dem Punkt
"Allgemeines lineares Gleichungssystem mit drei Variablen lösen"
hier:
https://de.bettermarks.com/mathe/loesen-linearer-gleichungssysteme-mit-drei-variablen.
Ergibt sich dabei eine vollständige Dreiecksstruktur, d.h. die unterste Gleichung hat nur noch eine Variable, die zweitunterste zwei, die drittunterste drei und so weiter, hat dieses LGS eine EINDEUTIGE Lösung. Diese ergibt sich daraus, dass aus der untersten Gleichung der konkrete Wert der einen Variablen, die in ihr ist, bestimmt werden kann. Dieser Wert kann in die Zeile darüber eingesetzt werden, die dadurch wiederum nur noch eine Variable enthält, die konkret bestimmt werden kann. Dann werden diese beiden konkret bestimmten Variablen in die Zeile darüber eingesetzt und die nächste Variable konkret bestimmt und so weiter.
Jetzt kann es aber passieren, dass diese Dreiecksstruktur nicht vollständig ist, z.B. weil es eine Gleichung zuwenig gibt, um eine eindeutige Lösung zu bestimmen. Ein solches Gleichungssystem heißt UNTERBESTIMMT und hat zur Folge, dass eine oder mehrere Variablen übrig bleiben, die nicht durch eine andere ausgedrückt werden können. Beispiel:
Hier kann zwar y = 5+z gefolgert und auch in Gleichung I eingesetzt werden, dennoch bleibt dort x + 2z = -5 übrig. Abhängig von der Wahl von z würde sich also ein entsprechendes x und ein entsprechendes y ergeben. z kann aber frei gewählt werden, so dass sich unendlich viele Lösungen ergeben.
Kann eine Variable frei gewählt werden, bilden die Lösungen eine Gerade,
bei zwei frei wählbaren Variablen bilden sie eine Ebene,
bei dreien einen Raum und so weiter.
Das Gegenstück zu einem unterbestimmten LGS ist ein ÜBERBESTIMMTES LGS. Es hat zu viele Gleichungen, die gleichzeitig gelten müssen und sich beim Gaußschen Eliminationsverfahren gegenseitig widersprechen. Zum Beispiel könnten zwei Gleichungen y = 3 und y = 10 lauten, was aber nicht gleichzeitig gelten kann.
Diese Gleichungssysteme haben gar keine Lösung.
Ich hoffe, das konnte Deine Frage beantworten. Falls nicht oder noch Fragen sind, lass es mich gerne wissen.
Viele Grüße!
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Da Du "graphische Darstellung" schreibst, geht es wohl um LGS mit 2 Variablen bei 2 Gleichungen! Da kann man "eigentlich" recht leicht im Kopf eine oder beide Gleichungen so "manipulieren" (durch Multiplikation bzw. Division), dass eine Variable bei beiden Gleichungen denselben Vorfaktor hat. Hat dann die andere auch denselben Vorfaktor (muss nicht der gleiche wie der der ersten Variablen sein) und die einzelne Zahl ohne Variable stimmt auch bei beiden Gleichungen überein, dann sind beide Gleichungen identisch, d. h. es gibt unendlich viele Lösungen. Ist die einzelne Zahl in beiden Gleichungen verschieden, dann gibt es keine Lösung.
Geht man "stur mathematisch" mit einem der 3 Verfahren vor (wird man bei mehr Gleichungen mit mehr Variablen wohl eh machen müssen), dann liegt keine Lösung vor, wenn am Ende nach den Umformungen alle Variablen aus einer Gleichung eliminiert sind und eine unwahre Aussage wie z. B. 0=3 rauskommt. Unendlich viele Lösungen gibt es, wenn am Ende eine wahre Aussage übrig bleibt, also sowas wie 1=1.
Hi,
allgemeine Form eines LGS mit 2 Unbekannten ist:
ax + by = c
dx + ey = f
wenn:
a / d ≠ b / e => eine Lösung
a / d = b / e = c / f => mehrere Lösungen
a / d = b / e ≠ c / f => keine Lösung
Kommst Du klar damit?
LG,
Heni