LGS mit unendlich vielen Lösungen?
Es geht um lineare Gleichungssysteme.
Wir schreiben bald eine Mathearbeit und eine Aufgabe zum Üben ist: Gib ein Beispiel an, dass unendlich viele Lösungen hat und begründe es. Das Beispiel habe ich schon.
1: -2x+2y=6
2: 3x-3y=-9
1: -6x +6y=18
2: 6x-6y=-18
1+2 0=0
2 Antworten
(1): -2x+2y=6
(2): 3x-3y=-9
beide sehen unterschiedlich aus , aber wenn man (1) durch -2 teilt und (2) durch 3
erhält man
(1a) x - y = -3 und (2a) x - y = -3 ,also zweimal die selbe Glg .
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sowas sieht man natürlich nicht immer , daher kann man beide Gleichungen auch nach x oder y auflösen und erhält beide Male.
x = -3 + y . (1c)
jetzt sollte man sehen, daß man bei einem bestimmten x das y immer so auswählen kann ,daß die Gleichung eine Lösung hat.
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geht man an das Problem mit den klassischen Methoden der Schule heran (Gleich Einsetz Addition s verfahren)
(1): -2x+2y=6 ......../ * ( 3/2 ) >>>>>>>>>>> ........ - 3x + 3y = 9
(2): 3x-3y=-9
und nach Addition eben
0 = 0 , was wie man jetzt weiß das Indiz für unendlich viele Lösungen ist.
Mit Einsetz
(1): -2x+2y=6 >>>>> y = ( 6 + 2x ) / 2 >>>>> y = 3 + x
in (2)
3x - 3 * ( 3 + x ) = -9
3x - 9 - 3x = -9
-9 = -9
was auch das Indiz für unendlich viele Lösungen ist .
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Das zweite Beispiel hat die gleiche Behandlung nötig und kommt ebenfalls zum bekannte Ergebnis der unend vielen Lös.
Diese Aufgabe ist nicht lösbar,weil die Gleichung 2) aus Gleichung 1) entstanden ist
1) -2*x+2*y=6 multipliziert mit -1,5
ergibt 3*x-3*y=-9 also nicht lösbar
Lösbarkeitsregeln für "LGS"
1) Fall: Es gibt geneu so vile Unbekannte,wie "unabhängige" Gleichungen
"1 eindeutige Lösung"
2) Fall: Es gibt mehr Unbekannte als "unabhängige Gleichungen.Eine Unbekannte kann dann frei gewählt werden
" unendlich viele Lösungen"
3) Fall: Es gibt einen "Widerspruch" (Unnsinn),z,Bsp. keine unabhängigen Gleichungen
"Lösung nicht möglich"