Frage zur Linearfaktorzerlegung?

Wir haben das Thema neu und sollen uns damit selber beschäftigen. Ich habe zwar nach Rechnern im Internet gesucht, aber Es gibt keinen Rechner mit Rechenweg. Deshalb wollte ich fragen, ob mir jemand anhand eines Beispiels erklären, wie diese Formel in die Linearfaktorzerlegung gewandelt werden (?) und auch gerne, wie ich die Nullstellen daraus lese.

Beispiel:

F(x) = x^3-2x^2-8x

Answer 1

[LocalFlow]

Hey,

Um eine Gleichung in Normalform in die Linearfaktordarstellung umzuformen, berechnest Du erstmal die Nullstellen deiner Funktion.

In diesem Fall hast Du Glück, da kein Absolutglied in der Gleichung vorhanden ist (das ist die Zahl, die keine Variable hat. Also hier keine). Da reicht es einfach x auszuklammern.

Also machen wir das mal:

$f\left(x\right)\ =\ x^3-2x^2-8x$ $f\left(x\right)\ =\ x\cdot\left(x^2-2x-8\right)$

So. Und jetzt kommt einfach der Nullproduktsatz zur Geltung. Dieser besagt, wenn ein Faktor einer Multiplikation 0 ist, muss der Ergebnis auch 0 sein.

Dementsprechen sind deine Nullstellen:

$x_1\ =\ 0$ $x_{2,\ 3}\ =\ x^2-2x-8$

Du hast jetzt noch nicht direkt x2 und x3 gegeben, da sich diese aus der quadratischen Gleichung zusammensetzen, die in der Klammer enthalten ist. Aber das ist natürlich kein Problem, diese kannst Du einfach mit der pq-Formel lösen.

Sieht dann so aus:

$x_{2,\ 3}\ =\ -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$ $x_{2,\ 3}\ =\ -\left(-\frac{2}{2}\right)^2\ \pm\ \sqrt{\left(\frac{-\ 2}{2}\right)^2-\left(-8\right)}$ $x_{2,\ 3}\ =\ 1\ \pm\ \sqrt{1\ +\ 8}$ $x_2\ =\ 1\ +\ 3\ =\ 4$ $x_3\ =\ 1\ -\ 3\ =\ -2$

So. Nun hast Du deine Nullstellen. Anhand von diesen kannst Du jetzt einfach die Linearfaktordarstellung erstellen:

$f\left(x\right)\ =x\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+2\right)$

Beachte, dass sich die Vorzeichen in den Klammern immer tauschen! Aus 4 wird also -4 und aus -2 wird +2.

Und das war's schon.

PS: Hier der Beweis. Einmal ein Bild eines Funktionsplotters mit der Normalform als Input und einmal mit deiner eben errechneten Linearfaktorform. :)

Mit Normalform:

Mit Linearfaktorform:

Sind identisch würde ich sagen, hat also funktioniert! :)

Hoffe ich konnte Dir weiterhelfen.

LG :)

Comments

[007cool007]

Sehr sogar! Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.

Finde ich cool, dass du diesen Beweis noch reingeschrieben hast