Frage von Sommerwind99, 38

Potenzfunktionen: Anzahl der Nullstellen

Hallo🙂
Wir haben gerade das Thema Potenzfunktionen und zum Thema »Anzahl der Nullstellen« hat uns unser Lehrer folgenden Satz auf den Weg gegeben:

Für die Menge der nichtnegativen Reellen Zahlen besitzt jede Potenzfunktion mit negativem oder rationalen Exponenten NULL Nullstellen.

Ich verstehe die Bedeutung des Satzes leider nicht. Wäre super wenn mir das jemand erklären könnte, am besten anhand eines Beispiels.🙂

Vielen Dank im voraus🙂

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 23

Für die Menge der nichtnegativen, reellen Zahlen besitzt jede Potenzfunktion mit negativem oder rationalen Exponenten NULL Nullstellen.

Da Natürliche Zahlen auch rational sind, halte ich den Satz für falsch. Gemeint ist aber wahrscheinlich ein gebrochener Exponent, wie etwa in

(1) f1(x) = x^{4/3} = ∛(x⁴) = (∛x)⁴

Für x=0 komme ich aber selbst hier auf f1(x) = 0. Ich kann also nur für x^α mit einer rationalen Zahl α≤0 finden, dass es wirklich keine Nullstellen gibt. Schließt man die 0 generell aus der Definitionsmenge aus, findet man sowieso keine Nullstelle, schließlich steht da »Potenzfunktion« und nicht »Polynom«. Reine Potenzfunktionen können nur eine Nullstelle haben, nämlich x=0.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 38

Das ist aber sehr verklausuliert.
Gewöhnlich merkt man sich:
Eine Potenzfunktion hat maximal so viele reelle Nullstellen, wie ihr Grad ist. Ungerade Funktionen haben mindestens eine.

Kommentar von Polynomo ,

Da haben wir das Problem, dass der Fragesteller von Potenzfunktion spricht, wo aber Wurzelfunktion oder gebrochen-rationale Funktion gemeint ist. Vielleicht ist aber diese Erweiterung auch zulässig.

Kommentar von Wechselfreund ,

Verstehe den Satz nicht! f(x) = x³ hat sicher Nullstelle, 3 ist sicher rational?!

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 30

Genau das passiert, wenn man im Fach "logische Mathematik" mit langen verschachtelten Sätzen angeht!

§1) https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzfunktion

f(x) = a * x^n = a * pow(x, n) = a * e^(log(x)*n) = a * exp(log(x)*n)

§2: Um zu sehen, wann keine Nullstellen herauskommen, klammert man alle Fakten aus, die zu einer Nullstelle führen würden:

a) a=0 -> also muss a ungleich 0 (a <> 0)

b) komplexe Zahlen -> also nur reelle Zahlen

c) x=0 -> also x <>0

d) n=-∞ -> also n > -∞

Viele Lehrer sagen auch einfach kurz "Exponentialfunktion kann nie 0 werden" (das reicht für Schüler die keine komplexen Zahlen kennen und nicht mit unendlich rechnen aus).

Was Volens vermutlich meinte, sind Polynome der Form:

f(x) = a*x^0 + b*x^1 + x*x² + d*x³ + ...

Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte -> im Anhang

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm

das n ist dort die Feldvariable aB[0] wobei diese bei -3.333333 beginnt und mit Schrittweite 0.2 bis über 2 anwächst.

Zugabe Bild2: (-3)^x mit komplexen Zahlen blau Realteil; orange imaginär

Kommentar von hypergerd ,

es fehlte noch bei d) die Einschränkung

n < ∞ , da

(-1/2)^∞ = 0

aber Werte wie ∞ werden ja meist in der Schule ausgeschlossen

Kommentar von Volens ,

Eben. Und da werde ich mich mal als guter Schuster auf mein(en) Leisten beschränken.
Aber interessiert hat's mich doch.

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