Frage von deinemudda237u, 49

Funktionsscharen Anzahl der Nullstellen. Bitte um Hilfe?

Hallo liebe Community, wir sollen verschiedene Funktionsscharen anhand ihrer Anzahl der Nullstellen klassifizieren. Leider habe ich keine Ahnung, wie ich das machen soll. Wie soll ich das zB. bei f(x)=x^2+tx machen? also wenn ich die Nullstellen errechne, habe ich x1=-t und x2=0 raus und wie soll ich jetzt entschieden, wann die Funktion wie viele Nullstellen hat? Danke schon einmal im voraus!

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 16

Du hast doch richtig gelöst:

x₁ = -t        und   x₂ = 0

Aus der Tatsache, dass x₂ kein t mehr hat, kannst du schließen, dass alle Kurven der Schar die Nullstelle (0|0) haben.

x₁ ist von t abhängig. Du kannst also voraussagen, dass die Nullstelle immer das Negative des Parameters ist, ohne die Nullstellen jetzt einzeln zu rechnen.

Für   f(x)=x^2 + 5x     liegen die Nullstellen bei (0|0) und (-5|0),
für    f(x)=x^2 - 3x      liegen die Nullstellen bei (0|0) und (+3|0).

Alle Nullstellen mit positivem Parameter t, die nicht durch den Ursprung gehen, sind negativ, alle mit negativem Parameter, die nicht durch den Ursprung gehen, sind positiv.

Oder wie immer du das auch noch beschreiben möchtest,

Kommentar von Volens ,

Für t = 0 liegt eine Normalparabel vor. Das hatte ich noch vergessen.

Antwort
von Mathestiv, 22

Bei quadratischen Funktionen kannst du die Anzahl der Nullstellen anhand der Diskriminante D = sqrt(b² - 4ac) feststellen:

Falls D > 0: Zwei Nullstellen,
Falls D = 0: Eine (doppelte) Nullstelle,
Falls D < 0: Keine Nullstelle.

Bei der Beispielfunktion wäre die Diskriminante t² - 4*1*0 = t². Die wird nur genau dann Null, wenn auch t gleich null ist. Für alle anderen Werte (t =/= 0) ist die Diskriminante positiv, also gibts 2 Nullstellen.

Kommentar von deinemudda237u ,

danke :) ☺

Kommentar von Volens ,

Die Erkenntnis ist natürlich (eigentlich immer) richtig. Bei Scharen der Art x² + tx ist die Diskriminante aber trivial, weil wir die Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt berechnen.
Das hast du ja auch getan.

Antwort
von ojoj321, 34

Eine ganzrationale Funktion hat immer so viele Nullstellen, wie groß die größte Potenz ist. Also in deinem Fall immer 2. Diese können aufeinander liegen, allerdings sind es dann immer noch 2 Nullstellen.

Kommentar von deinemudda237u ,

aber das ist doch nicht immer so. Bei x^3 hat man doch nur eine Nullstelle

Kommentar von ojoj321 ,

Es sind 3 Nullstellen die übereinander liegen

Kommentar von ojoj321 ,

*Es sind höchstens so viele Nullstellen wie die größte Potenz. f(x) = x^2 + 1 hat zum Beispiel keine Nullstelle. Meine Antwort war also nicht ganz richtig.

Kommentar von deinemudda237u ,

und beispielsweise bei f(x)=x^2+a^2x+a^2 :)

Kommentar von deinemudda237u ,

weil da gibt es ja auch Funktionen, die nur an einem Punkt eine Nullstelle haben. Wie krieg ich das jetzt raus?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 22

Es gibt auch "zusammenfallende" ("mehrfache") Nullstellen.

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