Frage zu Potenzen?

Wie kann man den Exponenten ergänzen sodass diese gleichung stimmt?

5^? = 625

Oder ergänze die Basis sodass die gleichung stimmt

?^4 = 810000

Geht fas nur durch ausprobieren oder gibt es ein Verfahren?

Answer 1

[mihisu]

====== 1. Logarithmus ======

Den Exponenten kann man mit Hilfe des Logarithmus finden. Bedenke, dass gilt:

${b}^{k}=a\quad \Leftrightarrow\quad k=\log_{b}\left(a\right)$

Im konkreten Fall:

${5}^{k}=625\quad \Leftrightarrow\quad k=\underbrace{\log_{5}\left(625\right)}_{=4}$

Bzw. kann man auch einfach erkennen, dass man 625 als 5^4 schreiben kann und dementsprechend einfach 4 als Lösung angeben, wenn man 5^? mit 5^4 vergleicht.

====== 2. Wurzel ======

An die Basis gelangt man mit Hilfe einer Wurzel. Bedenke, dass für nicht-negative reelle Zahlen b die Äquivalenz

$b^{k}=a\quad \Leftrightarrow\quad b=\sqrt[k]{a}$

gilt.

Im konkreten Fall erhält man, wenn man b als nicht-negativ voraussetzt:

$b^{4}=810000\quad \Leftrightarrow\quad b=\underbrace{\sqrt[4]{810000}}_{=30}$

Beachte jedoch: Da der Exponent gerade ist, gibt es nicht nur diese nicht-negative Lösung, sondern auch die entsprechend negative Lösung b = -30 ist möglich.

$b^4=810000\quad \Leftrightarrow\quad b=\pm\sqrt[4]{810000}\quad \Leftrightarrow\quad b=\pm 30$

Bzw. kann man auch erkennen, dass 810000 = 900² ist. [Bedenke: 81 = 9² und 10000 = 100².] Und es ist 900 = 30². [Bedenke: 9 = 3² und 100 = 10²] Dementsprechend ist 810000 = 900² = (30²)² = 30⁴. Vergleicht man nun ?^4 mit 30^4, kann man erkennen, dass 30 eine mögliche Lösung ist.

Comments

[Lol2727363271]

Hi, daß Problem ist das ich es meiner Nachhilfesschülerin aus der 7. Klasse erklären soll und ich bin am überlegen wie ich es ihr erklären soll

Answer 2

[tunik123]

Wenn es um natürliche Zahlen geht, kann man die Basis in Primfaktoren zerlegen. Dann sieht man, was Sache ist.

Answer 3

[Geograph]

5^? = 625

625 / 5 = 125

125 / 5 = 25

25 / 5 = 5

5 • 5 • 5 • 5 = 625 = 5⁴

Answer 4

[Applwind]

5^x = 625 <=> x = log_5(625) oder mit probieren

x^4= 810000 <=> x = +/- (810000)^(1/4)

Answer 5

[Rubezahl2000]

Wichtige Quadratzahlen sollte man auswendig im Kopf haben!

Dann fällt einem zur Zahl 625 sofort ein:
625 = 25²
und 25 = 5²
=> 625 = 5⁴

Und zu 81 fällt einem sofort ein:
81 = 9²
9 = 3²
=> 81 = 3⁴
und dann muss man nur noch ein wenig mit Nullen jonglieren ;-)

Ein Verfahren wäre Logarithmus, das ist aber bei so einfachen Zahlen überflüssig.