Ein Federpendel hat eine Schwingungsdauer von 8/3 s? Sinusfunktion? Momentangeschwindigkeit?
Ein Federpendel hat eine Schwingungsdauer von 8/3 s. Dabei pendelt eine Kugel zwischen den beiden eingezeichneten Positionen hin und her. Die Entfernung des Pendelkörpers von der Aufhängung an der Decke kann als sinusfunktion dargestellt werden.
a)Begründe , dass die Funktion f(t)=0,5sin(3/4*pi+pi/2) zur Beschreinung geeignet ist. t ist die Zeit in Sekunden
Hier verstehe ich nur warum die periodeblänge 3/4pi ist den Rest(also Amplitude und Verschiebung) bräuchte ich hilfe
b)zeige dass die momentangeschwindigkeit der Kugel Null ist wenn diese in 1,5m Abstand von der Decke befindet. Wann ist die momentanbeschleunigung maximal?
Verstehe ich gar nicht
In der Funktionsgleichung fehlt t.
Bei 1,5 m ist die Geschwindigkeit sicher nicht 0.
Ups sorry soll in der Klammer 3/4pi*t heißen
Und nicht die geschwindigkeit sondern die Beschleunigung soll da Null sein
3 Antworten
Hallo Vanessa,
zu a) empfehle ich Dir das10-Minuten-Video (siehe unten). Da sind die grundlegenden Sachen ziemlich verständlich erklärt.
zu b) Wenn so ein Federpendel durch seine Ruhelage rauscht, ist es natürlich am schnellsten. Seine Geschwindigkeit ist maximal. In den Umkehrpunkten, wo das Pendel langsamer wird, seine Richtung ändert und dann wieder den Weg zurück antritt, da ist die Beschleunigung maximal. Warum? Weil die Beschleunigung beschreibt, ob sich die Geschwindigkeit von einem auf den nächsten Augenblick stark ändert oder nicht. Kurz vor und kurz nach der Ruhelage hat das Pendel ja mehr oder weniger dieselbe Geschwindigkeit. Keine große Änderung. Also minimale Beschleunigung. An den Umkehrpunkten ändert die Geschwindigkeit dagegen sogar ihre Richtung! Große Änderung. Also auch große Beschleunigung.
Hilft Dir das ein bisschen weiter?
Ja hilft mir weiter super danke für sie ausführliche Erklärung :D
freie ungedämpfte Schwingung Differentialgleichung (Dgl) y´´+wo²*y=0
allgemeine Lösung y=S(t)=C1*sin(w*t)+C2*cos(w*t)
wo=w=2*pi/T=2*pi/(8/3 s)=2*3/8*pi=3/4*pi rad/s
Bei t=0 → S(0)=Smax==C1*sin(w*0)+C2*cos(w*0)=C1*0+C2*1
also partikuläre Lösung (spezielle Lösung) y=S(t)=0,5*cos(3/4*pi*t)
wegen y=cos(x)=sin(x+pi/2) siehe Mathe-Formelbuch,trigonometrische Funktionen
y=cos(x) und y=sin(x) sind 2 gleiche harmonische Schwingungen,die aber um pi/2=90° gegeneinander verschoben sind.
also kann man auch schreiben y=S(t)=0,5*sin(3/4*pi*t+pi/2)
w=3/4*pi=Kreisfrequenz ,Winkelgeschwindigkeit in rad/s (Radiant pro Sekunde)
b) die Geschwindigkeit V(t)=ds/dt=S´(t) ist an den Umkehrpunkten NULL und im Ruhepunkt (in der Mitte) am größten.
Weg-Zeit-Funktion S(t)=0,5*sin(3/4*pi*t+pi/2) abgeleitet
Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)
Substitution (ersetzen) z=3/4*pi*t+pi/2 abgeleitet z´=dz/dt=3/4*pi
f(z)=sin(z) abgeleitet f´(z)=cos(z)
V(t)=S´(t)=0,5*z´*f´(z)=0,5*3/4*pi*cos(3/4*t+pi/2)
V(t)=S´(t)=0,375*pi*cos(3/4*pi*t+pi/2)
y=cos(x)
Nullstellen bei x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3..
Extrema bei x=k*pi mit k=0,1,2,3...
V(t)=0=0,375*pi*cos(3/4*pi*t+pi/2)
1.te Nullstellen bei 3/4*pi*t+pi/2=pi/2+0*pi=pi/2
3/4*pi*t=pi/2-pi/2=0
also t1=0 s
2.te Nullstellen bei 3/4*pi*t+pi/2=pi/2+1*pi
3/4*pi*t=pi/2-pi/2+pi=pi
t=pi/pi*4/3
t2=4/3 s
bei maximaler Geschwindigkeit ist V(t)=Vmax=0,375*pi *1
also cos(3/4*pi*t+pi/2)=1
Den Rest schaffst du selber
Momentanbeschleunigung a(t)=dv/dt=V´(t)=S´´(t) ist die 2.te Ableitung der Weg-Zeit-Funktion
Dann auch wieder Nullstellen und Extrema bestimmen
Infos,vergrößern und/oder herunterladen
zu a)
Wo ist den da dein t geblieben? Du hast ja gar keine Variable mehr in deiner Gleichung.