Erklärung der Lösung von hormonischen Oszillator-Schwingungsgleichungen?
Also für eine „gewöhnliche-homogene Differentialgleichung“ ist lautet die allgemeine Lösung, bekanntermaßen: Cxe^λt. Soweit so gut, das ist ja auch der Lösungsansatz, für die Schwingungsgleichung des harmonischen Oszillators. Alles was sich innerhalb der grünen Markierung, der Abbildung befindet ist mir reichlich klar. Allerdings, weiß ich nicht wie man bei gegeben Anfangsbedingungen, z.B. das schwingende Objekt hat zum Zeitpunkt t = 0 die Strecke, X(0) = 0 zurückgelegt, auf die beiden konstanten c schließt schließlich gibt es ja zwei davon, daher bin ich mir nicht sicher wie man genau beide herleitet da es ich um eine unbekannte Kombination von beiden handeln kann oder? Und zusätzlich bin ich mir betreffend, der Notation nicht sicher was auf der Abbildung der Unterschied zwischen c2 und c2-Stern ist sowie c1 und c-Stern, also die orange Markierung. Und warum beide gleich sind. Zuletzt sagen mir die Koeffizienten a und b nichts, soll das nur eine allgemeine Darstellung von komplexen zahlen sein? Und wenn ja, warum sind die beiden Konstanten C, komplex und nicht nur Lambda? Also konkret wie kann ich mir aus den Anfangsbedingungen die Konstanten, C herleiten und alles was ich für die Schwingungsgleichung so brauche? Danke.
2 Antworten
Bei dem Ansatz A(t) = e^(λt) handelt es sich nicht um die allgemeine Loesung, sondern eben nur um einen Ansatz. Mit diesem Ansatz kannst Du bestimmen, fuer welche (komplexen) Werte von λ diese Funktion eine Loesung der Differentialgleichung (DGL) ist. Mehr nicht.
Die verschwiegene Beobachtung ist nun, dass die DGL linear ist, d.h. dass Summen und Vielfache von Loesungen wieder Loesungen sind. Wenn Du ueber den Ansatz also herausfindest, dass e^(λ1 t) und e^(λ2 t) Loesungen sind, weisst Du auch, dass (fuer beliebige komplexe Zahlen C1 und C2)
x(t) = C1 * e^(λ1 t) + C2 * e^(λ2 t)
eine Loesung der DGL ist - rechne nach! Aus dieser Ueberlegung geht nicht hervor, dass es sich dabei um alle Loesungen handelt - es haette ja sein koennen, dass man mit obigem Ansatz welche vergisst, d.h. dass es noch andere Loesungen gibt, die eben anders aussehen... Man kann aber beweisen, dass es sich im Fall w0 ≠ 0 wirklich um alle Loesungen handelt.
Schliesslich kannst Du die beiden freien Konstanten an die Startbedingungen anpassen, typischerweise den Ort x0 und die Geschwindigkeit v0 zum Zeitpunkt t=0. Diese Bedingungen sehen so aus:
x0 = x(0) = C1 + C2
v0 = x'(0) = C1 λ1 + C2 λ2
Dies ist ein lineares Gleichungssystem fuer C1 und C2. Wenn x0 und v0 reell sind, sind die Loesungen C1 und C2 fuer Deine DGL automatisch reell - rechne nach!
Den Loesungsweg aus dem Bild verstehe ich nur zum Teil... Es steht nicht wirklich etwas Falsches da, aber eben auch keine schluessige Herleitung und schon gar kein Beweis. Es ist etwa so als wuerde man 13 * (4 + 6) = 11 * 11 + 9 = 130 vorrechnen und sagen "es ist ja nichts falsch".
Richtig, da war ich etwas zu schnell. Gut, dass jemand wirklich nachrechnet :) C1 und C2 sind so, dass die Lösungsfunktion reellwertig ist.
Wichtig ist, dass man die Reellwertigkeit nicht annehmen muss, sondern dass das Modell sie (so wie es sollte) automatisch erhält.
Wenn
x(t) = C1 * exp(iwt) + C2*exp(-iwt)
dann ist
x*(t) = (C1*) * exp(-iwt) + (C2*) * e(iwt)
Wenn x(t) reell ist muss sein:
x(t) = x*(t)
Der Koeffizientvergleich ergibt dann:
(C1)* = C2
(C29* = C1
Daher auch
C2 = (C1)*
Also lautet die allgemeine Lösung:
x(t) = C1 * exp(iwt) + (C1*)*exp(-iwt)
Da ich hier nur noch ein C habe kann ich den Index weglassen und schreiben
x(t) = C * exp(iwt) + (C*)*exp(-iwt)
Aus zwei Anfangsbedingungen (z.B. x(0) und x'(0) ) kannst du dann Realteil a und Imaginärteil b bestimmen.
Der Stern bedeutet: nimm den Ausdruck konjugiert komplex:
(a+bi )* = a-bi
Wenn x0 und v0 reell sind, sind die Loesungen C1 und C2 fuer Deine DGL automatisch reell
Nein:
Z.B. ist die relle Funktion
f(t) = -2 sin(t) = (i)*e^(it) + (-i)*e^(-it)
also ist hier
C1 = i
C2 = -i