Wie berechnet man die „Länge" eines Sinus?

Hallo Leute,

ich würde gerne wissen, wie man die Weglänge berechnet, die ein beliebiger Sinusgraph innerhalb einer Periode beschreibt.

Ich hätte jetzt gesagt, man nimmt das einfach als Überlagerung einer Kreisbewegung mit einer geradlinigen Bewegung an. Beides kann man ja einfach berechnen.

Nur bin ich mir nicht sicher, ob diese Rangehensweise kompletter Blödsinn oder richtig ist. Ist diese Rangehensweise kompletter Blödsinn oder richtig?

Und falls ich falsch bin, wie geht das dann richtig?

Vielen Dank und viele Grüße! =)

Answer 1

[ShimaG]

Graphenlänge einer differenzierteren Funktion in den Grenzen a und b:

$l=\int_a^b\sqrt{1+f'\left(x\right)^2}dx$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium und Promotion in Angewandter Mathematik

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

wegen der Symmetrie des Sinus reicht es, die Kurve von 0 bis pi/2 zu berechnen und das Ergebnis mit 4 zu multiplizieren. So bekommst Du die gesamte Länge von 0 bis 2*pi, also über die komplette Periode.

Für die Bogenlänge einer stetigen Funktion berechnest Du das
Integral von Wurzel(1+[f'(x)]²). Hier also das Integral der Wurzel aus (1+cos²(x)) von 0 bis pi. Ergebnis mal 4. Rechner auf Bogenmaß einstellen!

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 3

[ChrisGE1267]

Die Bogenlänge des Graphen einer Funktion f über dem Intervall von a nach b ist: $L=\int_{a\ }^b\sqrt{1+\left(f'\left(x\right)\right)^2}dx$ Dies führt im Falle der Sinus-Funktion auf ein elliptisches Integral, das Du näherungsweise berechnen kannst.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 4

[hologence]

für jede Kurve, die zwei verschiedene Dimensionen aufeinander abbildet, ist keine Einheit gegeben, in der man die Länge angeben könnte.

Comments

[martrud]

"für jede Kurve, die zwei verschiedene Dimensionen aufeinander abbildet, ist keine Einheit gegeben, in der man die Länge angeben könnte."

Was soll damit gemeint sein ?

Answer 5

[martrud]

"Ich hätte jetzt gesagt, man nimmt das einfach als Überlagerung einer Kreisbewegung mit einer geradlinigen Bewegung an. Beides kann man ja einfach berechnen."

Aus der Überlagerung einer Kreisbewegung (mit konstanter Winkelgeschwindigkeit) und einer geradlinigen Bewegung (mit konstanter Geschwindigkeit) entsteht aber keine Sinuskurve, sondern eine Zykloïde !

https://de.wikipedia.org/wiki/Zykloide#Eigenschaften_der_Zykloide