Was ist mit dem Minus vor dem Sinus passiert?

Das Additionstheorem für den Kosinus lautet:

Ich habe jetzt hier (die 2 vor dem Kosinus lassen ich weg) $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\cos\left(-\frac{x}{3}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\sin\left(-\frac{x}{3}\right)$ Die Therme in gelb oben markiert sind mir nicht verständlich:

Warum ist sin(-x/3) = sin(x/3) ? Es gilt doch sin(-x) = - sin(x)

Was ist mit dem Minus vor dem Sinus passiert?

Warum ist cos(-x/3) = cos(x/3)? Es gilt doch cos(-x) = cos(x)

cos(- (-x/3)) = cos(x/3) Das könnte passen!

Answer 1

[BorisG2011]

Du wendest die Formel für das Additionstheorem des Cosinus falsch an.

Entweder du schreibst:

$\cos\left(\frac{\pi}{2}\ -\left(+\frac{x}{3}\right)\right)\ =\ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{x}{3}\right)$ oder du schreibst:

$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\left(-\frac{x}{3}\right)\right)=\ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\cos\left(-\frac{x}{3}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\sin\left(-\frac{x}{3}\right)$

Im ersten Fall verwendest du das Minuszeichen im Cosinus als Rechenzeichen, im zweiten Fall als Vorzeichen. Du hast das Minuszeichen allerdings sowohl als Rechenzeichen als auch als Vorzeichen genommen und das geht nicht.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik

Comments

[BorisG2011]

Anmerkung;

Da immer gilt:

  x - y = x + (-y)

braucht man von den Additionstheoremen strenggenommen nur die Version mit Pluszeichen. In Worte gefasst beutet diese Gleichung:

Das Rechenzeichen "minus" kann ersetzt werden durch die Aufeinanderfolge von Rechenzeichen "Plus" und Vorzeichen "Minus".

Diese Regel ist gelegentlich schon nützlich.

[RedDevil1982]

@BorisG2011

Ok, vielen Dank werde ich mir merken.

Nochmal zu dem ergänzten Fall

x = x/3 und sin(-x) = - sin(x)

sin(-x/3) = - sin(x/3) passt, kommt - 0,61... für beide raus.

Jetzt x = -x/3 also wäre auch hier wieder das Minus vor x/3 anders zu lesen

Hier steht sin(- (-x/3) = sin(x/3) und nicht sin(-x/3)

Answer 2

[Wechselfreund]

cos(PI/2 - x/3)

Du brauchst als die untere Formel mit dem unteren -, wobei y = x/3 ist (!) und im Ergebnis ein + steht

= cos(PI/2) * cos(x/3) + sin(PI/2) * sin(x/3)