Kann man die Funktionsgleichung aufstellen, ohne den Funktionstyp zu kennen?
Hey, ich hätte mal eine Frage, die mich brennend interessieren würde. Gibt es eine Möglichkeit (von der Produktform bei ganzrationalen Funktionen mal abgesehen) um die Funktionsgleichung aufzustellen ohne dabei den Funktionstyp (also z.B. e-Funktionen) zu kennen, also nur anhand gegebener Punkte?
Ich würde mich über eine Antwort echt sehr freuen, da mir einfach keine Möglichkeit in den Sinn kommt.
5 Antworten
Gehen wir hier mal von der Theorie aus: Es ist egal, welchen Funktionstypen du annimmst. Wichtig ist nur, dann der günstigste Funktionstyp gewählt werden sollte. Hierzu kann man seinen Datensatz (d.h. alle Punkte) graphisch auftragen.
Man nimmt also einen Funktionstypen an und prüft inwiefern die Punkte durch den gewählten Funktionstypen sachgerecht wiedergegeben werden kann. Hierzu gibt es eine Menge Möglichkeiten das zu prüfen. Ich persönlich habe hierfür oft Excel verwendet, auch wenn rein wissenschaftlich oft davon abgeraten wird. Hier kann man den angenommenen Funktionstypen wählen und dann berechnet Excel jene Kurve die am besten die Punkte wiedergibt, beschränkt sich dabei aber darauf den Funktionstypen unweigerlich zu behalten.
Die Ergebnisse sind oben in den Bildern veranschaulicht. Bei manchen Graphen sieht man eindeutig: logarithmisch, linear und Potenz geben die Punkte in keiner Weise gut wider. Die quadratische Funktion (polynomisch n = 2) sowie die kubische (n = 3) geben die Punkte auch genügend gut wieder. Aber wirklich exakt ist hier nur die exponentielle Funktion.
Sind feine Unterschiede zwischen verschiedenen Funktionstypen vorhanden und man kann nicht genau erkennen welcher nun der richtige ist: Dafür gibt es Werte die generiert werden können und angeben inwiefern auf mathematischer Ebene durch den generierten Graphen sowie deren Funktionsgleichung die Punkte wiedergeben. Excel bietet hierfür den Bestimmtheitsmaß (nicht genormt!). In manchen Fällen ist es günstig den Wert heranzuziehen um zu entscheiden welcher gewählte Funktionstyp besser ist. Hierzu sollte man aber auch wissen was das Bestimmtheitsmaß überhaupt angibt.
Ist es verwendbar oder genügend verwendbar, so zeigt jener Funktionstyp mit der besten Näherung an den Punkten die geringste Abweichung von 1 (s. R² = ...).
Den von mir gewählten exponentiellen Verlauf bietet ein R² = 1. Eindeutige Aussage.
Das ist nur ein kleiner Einstieg ins Thema. Das Thema bietet viel mehr was man wissen müsste, aber ein Abriss hast du damit alle mal bekommen. Weiterhin ist zu sagen, dass das die graphische Methode ist. Den mathematischen Background liefert hier Excel.
Willst du es mathematisch lösen, so könntest du z.B. auch numerisch vorgehen. Hierzu verwendest du die Grundgleichung eines Funktionstypen und berechnet mittels Punkte innerhalb eines Gleichungssystems die einzelnen Koeffizienten. Stimmen diese Koeffizienten annähernd überein und die Probe ergibt erwartete Werte, dann kann vorerst angenommen werden, dass der richtige Funktionstyp erwischt wurde.
Meistens ist ein geeigneter Ansatz die graphische Betrachtung des Datenverlaufs. Dieser liefert mit genügend Grundwissen meist die richtige Vermutung des Funktionstypen. Bevor man eine Gleichung ermitteln möchte muss man einen Funktionstypen vorgeben. Denn die Ermittlung einer Gleichung erfolgt meist über die Normalform eines angenommenen Funktionstypen.
Das geht aber auch: Sagen wir mal, die Punkte sind (0,0),(1,1),(2,1)
( 0, wen x <= 0
f(x)={ x, wenn 0 < x < 1
( 1, wenn x >= 1
Meinst du das so, dass n Punkte mit ihren x/y-Koordinaten gegeben sind und eine beliebige Funktionsvorschrift gesucht ist, so dass die n Punkte passen?
Ohne irgendwelche weiteren Angaben zu der Funktion?
Dann nimm als Definitionsbereich einfach die Menge D der n x-Werte,
als Wertebereich die Menge W der n y-Werte
und als Funktionsvorschrift:
f: D→W mit f(xi)=yi für i=1,...,n
Das ergibt irgendwie nicht so wirklich Sinn.
Wenn du den Funktionstypen nicht kennst, musst du ihn immer zuerst herausfinden, indem du dein mathematisches Wissen anwendest. Ich kann mir auch keine Aufgabe vorstellen, wo du die Funktionsgleichung berechnest und dann quasi am Ende merkst: 'Oh, guck mal, das ist ne e-Funktion geworden'.
Du musst zu Beginn schon wissen, welcher Funktionstyp das ist und dann in die entsprechende Grundgleichung einsetzen, die immer anders ist.
du kannst natürlich alle gegebenen Punkte einzeichnen und dann mit einiger Erfahrung erahnen, welcher Funktionstyp vorliegt.