Dividieren oder subtrahieren (Gleichungen umstellen?
Hey,
An sich verstehe ich Gleichungen, aber beim Umstellen habe ich oft Probleme. Ihr seht ja im Bild die Gleichung. Sollte man hier nun dividieren oder subtrahieren, wenn man die 600000 auf die rechte Seite bekommen möchte? Gibt es beim Umstellen bestimmte Regeln? Schonmal danke im Voraus ^^
9 Antworten
Hallo,
zu deiner Frage, was man bei folgender Gleichung
tun sollte, um den Vorfaktor 6*10^5 zu eliminieren, würde ich eine Division vorschlagen, da multipliziert wird.
Dann wird nämlich auf beiden Seiten (Äquivalenzumformung) durch 6*10^5 geteilt:
Dann bleibt folgendes stehen:
10/6 könnte man noch zu 5/3 kürzen, aber darauf verzichte ich jetzt mal.
Jetzt könnte man die obere Gleichung natürlich über den Logarithmus zur Basis 1,08 lösen und das x ermitteln.
Würdest du -(6*10^5) auf beiden Seiten rechnen, würde der Vorfaktor immer noch stehen bleiben und aus der ursprünglichen Gleichung wird:
Ich befürchte, dass du Gleichungen NICHT richtig verstanden hast.
600.000 • 10^x = 1.000.000 │-600.000
Das bedeutet, dass du auf beiden Seiten der Gleichung -600.000 rechnest. Schreib das mal ausführlich hin:
600.000 • 10^x - 600.000 = 1.000.000 - 600.000
Merkst du, dass das so nicht funktionieren kann?
Nur mit der Aktion "geteilt durch 600.000" würde die 600.000 auf der linken Seite verschwinden. Du musst also auf beiden Seiten der Gleichung "geteilt durch 600.000" rechnen.
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Hier ein paar allgemeine Tipps zu Gleichungen:
Eine Gleichung ist eine Aussage, dass 2 Terme gleich sind.
Das Wichtigste an einer Gleichung ist das Gleichheitszeichen.
Eine Gleichung besteht IMMER aus 3 Teilen:
1. Ein Gleichheitszeichen
2. ein Term links vom Gleichheitszeichen
3. ein Term rechts vom Gleichheitszeichen.
Und die beiden Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen sehen zwar meistens unterschiedlich aus, aber sie sind IMMER „gleich“, sonst wäre es keine Gleichung.
Bei Gleichungen gilt also IMMER: Linke Seite = Rechte Seite.
Eine Gleichung kann man sich immer vorstellen, wie eine Balkenwaage, bei der 2 Gewichtschalen in Balance gehalten werden.
Um dieses "Gleichgewicht: Links = rechts" zu erhalten, auch wenn man die Gleichung umformt, muss IMMER auf beiden Seiten DASSELBE verändert werden, denn sonst ist das "Gleichgewicht: Links gleich rechts" nicht mehr gegeben.
Genau wie bei einer Balkenwaage: Wenn man bei einer Schale mehr (oder weniger) dazu tut (oder raus nimmt) als bei der anderen Schale, dann gibt's kein Gleichgewicht mehr. Packt man jedoch in beiden Schalen die selbe Menge dazu, oder nimmt man aus beiden Schalen die selbe Menge raus, dann bleibt das Gleichgewicht bestehen :-)
Gibt es beim Umstellen bestimmte Regeln?
Grundsätzlich gilt: Um etwas auf die andere Seite zu bekommen oder weiter aufzulösen, musst du die Gegenoperation ausführen.
Bei 5x + 10 = 0 musst du -10 rechnen, weil vor der 10 ein Plus steht und Minus das Gegenteil davon ist.
Hast du 3x = 12, musst du durch 3 teilen, denn zwischen der 3 und dem x steht ja ein Mal, sie sind quasi miteinander verbunden. Das Gegenteil von der Multiplikation ist die Division, genau wie in deinem Fall.
Du musst hier natürlich dividieren, denn die 600.000 wird ja mit 1,08^x multipliziert. Um die 600.000 auf die andere Seite zu bekommen, musst du also auch hier das Gegenteil der Multiplikation verwenden. Subtrahieren funktioniert hier nicht, zumindest nicht so, wie du es dann auch aufschreibst. Das würde aber sowieso keinen Sinn ergeben.
Naja, finde ich absolut legitim das so zu sagen, auch wenn es streng genommen vielleicht nicht korrekt sein mag. Haben unsere Lehrer auch oft genug gesagt und so großartig falsch ist es jetzt auch nicht.
Warum denkst du, durch Subrtrahieren die 600 000 hier auf der linken Seite wegbekommen zu können? Sieh dir an was du dabei machst:
600 000 * 1,08^x - 600 000 = 600 000 * (1,08^x-1)
Du hast die 600 000 nicht nur nicht wegbekommen, sondern den Ausdruck auch noch komplizierter gemacht.
Wenn du hingegen dividierst:
600 000 * 1,08^x / 600 000 = 600 000 / 600 000 * 1,08^x = 1 * 1,08^x = 1,08^x
Nur so bekommst du die 600 000 links weg!
Dringender Rat: überleg dir, was du da machst, anstatt ohne Vertändnis auswendig gelernte Schritte abzuarbeiten!
Als Schüler oder als Kind tust du ja oft das Gegenteil von dem, was dir gesagt wird.
Das kannst du auch bei Gleichungen anwenden:
Wenn da "mal" steht, musst du teilen - wenn da + steht, musst du abziehen usw.....
In deinem Fall steht das Malzeichen, also musst du (2. Möglichkeit oder....) teilen.
Frage zu deiner Schreibweise: Soll das x hier eine Potenz sein oder ist das einfach die Unbekannte?
Wie kommst du überhaupt darauf, es könnte sich dabei um eine Potenz handeln? x ist natürlich hier eine Unbekannte, die sich im Exponenten der Basis 1,08 befindet und erst die Basis und der Exponent sind die Potenz. Ansonsten verwendest du den Begriff schlichtweg falsch.
Alles ok. nur den Ausdruck "auf die andere Seite bekommen" halte ich für gefährlich, obwohl er weit verbreitent ist. Letztendlich will man ja "auf der anderen Seite" etwas neutralisieren.