Frage von AnonyJS, 144

Die n-te Ableitung von der Sinusfunktion?

Die Ableitung von sin(x) ist cos(x) wenn ich es richtig hergeleitet habe? Habe aber nicht den Differentialquotient sondern einfach mit den Extrema und Wendepunkten gearbeitet.

Mir ist folgendes aufgefallen, die vierte Ableitung von sin(x) ist wieder der sin(x). Daraus folgt die achte Ableitung der Sinusfunktion ist wieder der Sinus selbst... usw.

Mathematisch ausgedrückt [Siehe Bild 1], oder?

Das wäre doch dann aber weiter eine Zahlenreihe die folgendermaßen aufgebaut ist:

0,4,8,12,16,...

Geht also bis ins unendliche, man kann doch aber dann nicht sagen die Unendlichste Ableitung der Sinusfunktion ist dieser selbst.

Da doch genau solch eine Zahlenreihe ins unendliche geht:

1,2,3,4,5,6,...

Also wie sagt man das?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 67

Wieso eigentlich Reihe? Du summierst hier doch überhaupt nichts auf. Es ist lediglich eine Folge, nämlich

a_n = n•4.

Man sagt

d⁴ⁿ(sin(x))/dx⁴ⁿ = sin(x),

wobei dies genau genommen Physiker - Jargon ist, Mathematiker schreiben die Ableitungen einer Funktion f(x) lieber

f'(x), f''(x),…, f^{(n)}(x),….

als

df(x)/dx bzw. (d/dx)f(x),
(d²\dx²)f(x),

(dⁿ/dxⁿ)f(x)

,
wobei ihnen das natürlich geläufig ist.

(dⁿ/dxⁿ) für eine beliebige natürliche Zahl n ist übrigens ein Operator, der das nach x differenziert, was rechts von ihm steht.

Antwort
von ELLo1997, 91

Du kannst es auch so sagen: Die (4k)-te Ableitung des Sinus ist wieder der Sinus (wobei k Element der ganzen Zahlen ist). Das heißt ist der Ableitungsgrad durch 4 teilbar, so ist es wieder der Sinus.

Da unendlich keine ganze Zahl ist, macht es auch keinen Sinn über Teilbarkeit zu reden.

Lg

Kommentar von AnonyJS ,

Ja stimmt, so ist es verständlich.

Danke.

Kommentar von ELLo1997 ,

Gerne, hab dir noch ein zusätzliches Bild geschickt.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 68

Dein Gedankengang ist folgender:

f⁽⁰⁾(x) = sin(x)

f⁽¹⁾(x) = cos(x)

f⁽²⁾(x) = -sin(x)

f⁽³⁾(x) = -cos(x)

f⁽⁴⁾(x) = -(-sin(x)) = sin(x) = f⁽⁰⁾(x)

Deine Summe im Bild sagt jedoch etwas anderes aus.

Sie ist äquivalent zu folgendem Term:

(0+4) + (1+4) + (2+4) + (3+4) + ...

Da sie bis ins Unendliche geht, ist der Wert der Summe ∞.

Du möchtest aber folgendes ausdrücken:

f⁽ⁿ⁾(x) = f⁽⁰⁾(x) für f(x) = sin(x) und n mod 4 = 0

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Antwort
von ELLo1997, 69

Vielleicht noch als Ergänzung; so könntest du die n-te Ableitung allgemein berechnen:

Kommentar von AnonyJS ,

Ja, habe ich auch gerade gedacht.

Danke. :-)

Kommentar von Ahzmandius ,

k sollte lieber element N0 sein, weil sonst lässt man auch sin(x)^(1/2) usw. zu.

Eine halbe Ableitung? wüßte jetzt nicht wie man sin(x)^(1/2) interpretieren sollte.

Kommentar von ELLo1997 ,

Oh entschuldige - natürlich, danke dafür ^^

Antwort
von Ahzmandius, 22

Wie hast du eigentlich sin(x)' = cos(x) mit Hilfe von Extrema und Wendepunkten bewiesen?

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