Ableitung von trigonometrischen Funktionen ?

1. cos(x)+sin(3x)
2. 2cos(3x)^2

Kann jemand das mal ausführlich mit Rechenschritte erklären? Die Lösung sind:

1. -sin(x)+3cos(3x)
2. -12*cos(3x)*sin(3x)
3. Danke:)

Answer 1

[NoTrolling]

1. f(x)=cos(x)+sin(3x)

f'(x)=[cos(x)]'+[sin(3x)]'   

Die Ableitung einer Funktion ist gleich der Summe der Ableitung ihrer Summanden.

f'(x)=-sin(x)+cos(3x)*[3x]'   

Bei rechtem Term findet die Kettenregel Anwendung.

f'(x)=-sin(x)+3cos(3x)

2. f(x)=2cos(3x)² Hier auf ähnliche Weise eine Verschachtelung der Produktregel.

f'(x)=2[cos(3x)²]'

f'(x)=2*2cos(3x)*[cos(3x)]'

f'(x)=4cos(3x)*(-sin(3x)*[3x]')

f'(x)=-12cos(3x)*sin(3x)

Comments

[Chogath]

Ja sry hab sie korrigiert :/ hatte sie falsch aufgeschrieben.. 

Danke:)

[NoTrolling]

@Chogath

Jepp, habe ich mir schon gedacht :)
Kann passieren :D

Answer 2

[Spucki12]

Zu 1. :

Da es cos(x) + sin(3x) ist, nimmt man hier zunächst die Summenregel. Man kann also beide Summanden unabhängig voneinander ableiten.
Die Ableitung von cos(x) sollte bekannt sein, cos(x)' = -sin(x).

Bei sin(3x) muss man noch die Kettenregel anwenden, da in der Klammer vom Sinus noch eine eigene Funktion ist. Die Kettenregel ist dir bekannt, oder? Man muss einmal die äußere Funktion ableiten (das wäre sin(x)) und mit der inneren Ableitung multiplitzieren. Es ergibt sich:

cos(3x) * 3

Am Ende ergibt beides zusammen: -sin(x) + 3cos(3x)

Zu 2.:

2cos(3x)² ist schon etwas kniffliger. Wenn man das Quadrad umschreibt, steht da: 2cos(3x)cos(3x)

Also muss man die Produktregel anwenden. Sollte auch bekannt sein.

Hier nochmal: (f*g)' = f '*g + f*g'

Da wir aber für f und g beidesmal cos(3x) haben, müssen wir nur einmal f*g' bzw. f'*g ausrechnen und können es einfach mal 2 nehmen.

cos(3x)'cos(3x) = -sin(3x)*3*cos(3x) (wie bei 1. gemacht)

Somit haben wir für (f*g)' stehen: -6sin(3x)cos(3x), da wir es noch mit 2 multiplitzieren mussten.

Da wir aber vor allem ja noch eine 2 stehen hatten, ziehen wir die einfach als Faktor mit. Es ergibt sich:

-12sin(3x)cos(3x)

Comments

[Spucki12]

HAb mich schon gewundert warum -12cos(3x)² rauskommen sollte ;)

Aber jetzt passts ja

Answer 3

[Michak231]

Das ist alles sehr einfach. Du musst immer nur die Kettenregel bzw. Substition anwenden. Innere Ableitung nach außen und die Trig Funktion ableiten. Ist vielleicht ein bisschen viel das so zu schreiben. Beispiel: sin(3x) => 3cos(3x) abgeleitet.

Bei Punkt 2 machst das gleiche, musst aber alles mit der Produktregel berechnen und zwischendurch die Substiution bzw. Kettenregel.