Frage von ProfessorD, 167

Begründe sin(-x)=-sin x und cos(-x)=cos x?

Kann mir jemand erklären warum sin(-x)=-sin x und cos(-x)=cos x ist? Wäre echt nett

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 104

Das liegt ganz einfach daran, dass die Kurve der Sinusfunktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und die Kurve der Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Kommentar von ProfessorD ,

Kannst du mir erklären, wie man dann diese Eigenschaft erhält, also dass sin(-x)= -sin x ist?

Kommentar von Willibergi ,

Sieh' dir dazu den Graphen der Sinusfunktion an.

sin(0) = 0, der Koordinatenursprung wird somit geschnitten

Links der y-Achse geht es zuerst in den negativen Bereich (III. Quadrant) und dann abwechselnd über und unter die x-Achse.

Rechts der y-Achse geht es zuerst in den positiven Bereich (I. Quadrant) und dann abwechselnd über und unter die x-Achse.

Wenn ein Objekt punktsymmetrisch zu einem bestimmten Bezugspunkt ist, kann man den rechten Teil auch horizontal und vertikal spiegeln, um den Teil links des Bezugspunktes zu erhalten.

Das gleiche kannst du an der Sinusfunktion sehen. Spiegle gedanklich den Teil rechts der y-Achse an beiden Koordinatenachsen, dann erhältst du den Teil links der y-Achse.

Daraus folgt logisch, dass sin(-x) = -sin(x).

Betrachte zur Verdeutlichung den Graphen und sieh' dir die Punkte (-π/2 | -1) und (π/2 | 1) an.

LG Willibergi 

Kommentar von ProfessorD ,

Ok, danke

Kommentar von Willibergi ,

Gern geschehen! ;)

LG Willibergi 

Antwort
von kepfIe, 100

Das geht ganz einfach mit der Reihenentwicklung von Sinus und Kosinus (schau auf Wikipedia nach, falls du die nicht kennst).  

Die Sinus-Reihe hat nur ungerade (x^1, x^3, x^5,...) Potenzen, somit ergibt sich durch einsetzen von -x: (-x)^1=-x, (-x)^3=-x^3,... Das Minus bleibt also immer erhalten und man kanns vor die Summe ziehen.  

Die Reihe vom Kosinus hat nur gerade Potenzen. Hier verschwindet das Minus: (-x)^2=x^2, (-x)^4=x^4,... Also ist man am Ende wieder beim normalen Kosinus.

Antwort
von girlyglitzer, 42

Hallo!

Die Frage lässt sich beliebig genau beantworten, hier gebe ich einen Beweis für komplexe z. Also insbesondere für reelle z.

Zuerst einmal gilt per definitionem:

  • sin(z) := 1/2i * (e^(iz) - e^(-iz))
  • und cos(z) := 1/2 * (e^(iz) + e^(-iz))

Betrachte nun die Gleichungskette:

sin(z) = 1/2i * (e^(iz) - e^(-iz)) = 1/2i * (-1) * (-e^(iz) + e^(-iz)) = -1/2i * (e^(-zi) - e^(-(-z)i)) = -sin(-z)

Daraus folgt dann -sin(z) = sin(-z)

-------------------------------------------------

Ähnlich für den Cosinus:

cos(z) = 1/2 * (e^(iz) + e^(-iz)) = 1/2 * (e^(-iz) + e^(iz)) = 1/2 * (e^(-iz) + e^(-(-z)i)) = cos(-z)

q. e. d.

LG girlyglitzer <3

Antwort
von lks72, 71

Im Einheitskreis sieht man das. Kosinus ist achsensymmetrisch und Sinus ist punktsymmetrisch zum Nullpunkt.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 95

Ich werde α statt x verwenden, weil ich im Bild α vewendet habe.

Es ist schon richtig, die Reihendarstellungen sind

(1)  sin(α) = α – α³/3! + α⁵/5! – α⁷/7! +…
(2) cos(α) = 1 – α²/2! + α⁴/4! – α⁶/6! +…,

also, die Sinusfunktion ist ungerade, was man daran sieht, dass er nur aus ungeraden, der Cosinus ist gerade, was man daran sieht, dass er nur aus geraden Potenzen von α besteht.

Ursprünglich wollte ich fast schreiben »weil« statt »was man daran sieht, dass« zu schreiben, aber Letzteres ist eigentlich nicht »Ursache« von Ersterem, jedenfalls nicht, wenn man (1) und (2) nicht als Definitionen, sondern als Reihenentwicklung versteht.

Die ursprüngliche Definition des Sinus ist der Zeichnung zu entnehmen. Ist α der Winkel zur +x-Achse, so sieht man, dass der x-Achsenabschnitt cos(α) in dieselbe Richtung geht, egal, ob der Winkel im oder gegen den Urzeigersinn ist.

Der y-Achsenabschnitt sin(α) hingegen geht im ersten Fall nach oben und im im zweiten Fall nach unten.

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