Funktionsuntersuchung Sinusfunktion 2*sin(x) + sin(2x)?
Ich habe folgende Sinusfunktion gegeben:
f(x) = 2*sin(x) + sin(2x)
- Ableitung:
f'(x) = 2*cos(x) + 2*cos(2x)
.
Die Nullstellen waren kein Problem, aber die Extrema sind irgendwie verzwackt:
0 = 2cos(x) + 2*cos(2x)
0 = cos(x) + cos(2x)
Aus cos(2x) kann man noch folgendes machen:
0 = cos(x) + ( cos²(x) - sin²(x) )
Oder auch:
0 = cos(x) + ( 1 - 2sin²(x) ) oder 0 = cos(x) + ( 2cos²(x)-1 )
Ab da weiß ich nicht weiter.
Man könnte auch die Ausgangssituation der notwendigen Bedingung nehmen:
cos(x) = -cos(2x)
Aber das hilft auch nicht wirklich weiter oder?
Wie finde ich die exakten Extremstellen raus? Ich hoffe mir kann jemand helfen!
Vielen Dank im Voraus
2 Antworten
Man kann auch mit
cos(x) = -cos(2x)
weiterkommen, denn
cos(x) = -cos(2x) = cos(pi - 2x), also
x = pi - 2x oder
2*pi - x = pi - 2x
somit
x = pi/3 oder
x = -pi bzw. x = pi im Interval [0,2pi)Die Gleichung
0 = cos(x) + ( 2cos²(x)-1 )
führt zum Ziel. Dies ist eine quadratische Gleichung in z:= cos(x)
2z² + z - 1 = 0
mit den Lösungen
z = -1 oder z = 1/2, also cos(x) = -1 oder cos(x) = 1/2
