Wenn die erste Ableitung einer Funktion ungleich null ergibt, bedeutet es keine Extrema hat?
Ich habe folgende Funktion zu lösen:
f: (-3, -1] -> IR
f(x) = |2x+3|
Ich habe schon bewiesen, unter welcher Bedingung die Funktion diff'bar ist.
Nun stell man bei der Berechnung der ersten Ableitung, dass es ungleich null ist. Wie kann man dann weitermachen? btw. was lässt sich denn behaupten?
Ich bedanke mich bei euch im Voraus
Tschüß!
2 Antworten
Es bedeutet, die Funktion hat kein Minimum "im herkömmlichen Sinn".
Wenn du dir die Funktion ansiehst: 2x+3 ist eine Geradengleichung, die hat prinzipiell kein Maximum/Minimum.
Durch den Betrag |2x+3| wird der negative Teil der Geraden ins Positive "geklappt" - an der Stelle x = -1,5 hat die Funktion deshalb einen Knick, sprich: sie ist dort nicht differenzierbar. Genau an jener Stelle ist aber das Minimum der Funktion.
Wenn eine Funktion f: (a,b) -> R differenzierbar ist, dann sind die Extremstellen die Punkte x, an denen f'(x) = 0 gilt. Deine Funktion ist aber nicht im gesamten Inneren differenzierbar, deshalb kann es sehr wohl auch andere Extremstellen geben.
In deinem Beispiel: Deine Funktion ist auf (-3,-1] definiert, aber nur auf (-3,-1.5) und (-1.5,-1) differenzierbar, deshalb sind deine möglichen lokalen Extremstellen:
- Die Punkte im differenzierbaren Bereich, an denen f'(x) = 0, also die herkömmlichen Extremstellen in (-3,-1.5)U(-1.5,-1)
- Die nicht-differenzierbaren Punkte, bei Dir der Punkt -1.5
- Die Randpunkte, bei Dir der Punkt -1. Diesen Punkt musst du hinzunehmen, da z.B. unabhängig von der Ableitung die Funktion (f: [0,1] -> R, f(x) = x) ein Minimum bei 0 und ein Maximum bei 1 hat.
Diese möglichen Punkte musst du Schritt für Schritt durcharbeiten, um lokale Minima und Maxima zu finden.
LG