Hinreichende Bedingung bei Funktionen?
Sowohl bei der Berechnung von extremstellen als auch bei wendestellen . Gibt's hinreichende Bedingung einmal f"(x)≠0
Und bei wendestellen f'''(x)≠0
Kann mir jemand erklären warum das sein muss?
2 Antworten
Wenn f"(x_0) ≠ 0 ist, bedeutet das, dass es eine Umgebung um x_0 gibt, in der f strikt konvex (für f"(x_0) > 0) bzw. strikt konkav ist (für f(x_0) < 0).
Anschaulich bedeutet dies, dass dort eine Krümmung vorhanden ist, sodass links und rechts der Stelle x_0 die Steigung unterschiedliche Vorzeichen hat, was auf ein (lokales) Extremum schließen lässt.
Bei dem Wendepunkt ist es so, dass f"'(x_0) ja die Steigung von f" an der Stelle x_0 angibt. Es kann sich nur um eine Wendestelle handeln, wenn links und rechts unterschiedliche Krümmungsverhalten nachgewiesen werden können. Das wiederum ist dann der Fall, wenn eine Seite konvex und die andere konkav ist. Die zweite Ableitung muss also links und rechts der Stelle unterschiedliche Vorzeichen haben (also f"(x_0 – h) hat bei genügend kleinem h ein anderes Vorzeichen als f"(x_0 + h)), was bedeutet, dass die Steigung von f" an der Stelle x_0 nicht null sein darf, also f"'(x_0) ≠ 0 gilt (eigentlich darf es schon sein, aber dann ist es nicht mehr hinreichend).
Es ist hilfreich, sich über die Begriffe Konvexität und Konkavität zu informieren. Dann sollte alles einfacher sein. Am Schluss noch eine hilfreiche Grafik (Quelle):
Bei den EP kann es theoretisch sein, dass es ein Sattelpunkt ist, also keine Extremstelle und bei WP bin ich grad nicht ganz sicher ehrlich gesagt...
Beim Wendepunkt genau so. Ein Sattelpunkt erfüllt ja zumindest f'(x)=0 und f''(x)=0 also es fällt quasi ein Extrempunkt mit einem Wendepunkt zusammen.
Allerdings hängts dann von den höheren Ableitungen ab was es wirklich ist.