Mathe Vorzeichenwechselkriterium?
Halli Hallo ihr Lieben,
Es geht um die Berechnung von Extremas undzwar gibt es ja zwei hinreichende Bedingungen:
1.f‘‘(x)>0 Tiefpunkt
f‘‘(x)<0 Hochpunkt
2.hinreichende Bedingung
setzt man X in die erste Ableitung ein und ein Wert vor X und nach X und es gibt ein Vorzeichenwechsel von + zu - ist es ein Hochpunkt und von - zu + ein Tiefpunkt
jezt ist meine Frage folgende:Manchmal,wenn das erste Kriterium erfüllt ist,ist das zweite nicht erfüllt.Wieso ist das erste Kriterium universeller als das zweite? Kann mir das jemand erklären ?
liebe grüse
2 Antworten
Die notwendige Bedingung (f'(x)=0) ist Grundvoraussetzung dafür, dass es überhaupt an dieser Stelle x eine Extremstelle geben kann (ist die nicht erfüllt, ist dort definitiv keine lokale Extremstelle).
Danach geht's an die hinreichende Bedingung (f''(x)<>0). Ist diese erfüllt, d. h. an der in der notwendigen Bedingung ermittelten möglichen Extremstelle ist die zweite Ableitung ungleich Null, dann gibt es auch eine Extremstelle. Wäre f''(x)=0, müsste man entweder weiter ableiten oder das Vorzeichenkriterium auf f' anwenden, denn dieses ist eindeutig: kommt es beim Test zum Vorzeichenwechsel, dann liegt eine Extremstelle vor (so wie Du auch schreibst), liegt kein Vorzeichenwechsel vor, dann ist an dieser Stelle x eine Wendestelle.
D. h. Du könntest immer nur mit dem Vorzeichenwechsel "arbeiten" statt die gegebene Funktion ein zweites Mal ableiten und prüfen zu müssen. Aber da man die zweite Ableitung eh meist auch braucht (für die Wendestellen), prüft man eher mit dem einen x-Wert die zweite Ableitung (in der Hoffnung, dass ein Wert ungleich 0 rauskommt) statt f' mit 2 Werten prüfen zu müssen, um die Vorzeichen zu ermitteln und daraus die nötigen Schlüsse zu ziehen.
Hey es gibt noch Sattelpunkte. Schau dir mal x^3 an. Das ist weder ein Hoch noch ein Tiefpunkt. Trotzdem ist die erste Ableitung im Ursprung gleich Null. Die zweite Ableitung aber auch.