Notwendige und hinreichende Bedingung bei extrema und wendestellen?
Was genau ist die notwendige und die hinreichende Bedingung bei extrempunkten und welche bei den wendepunkten? Danke im voraus
4 Antworten
Hi,
Extremstellen:
- notwendig: f'(x) = 0
- hinreichend: f''(x) > 0 (Tiefpunkt) oder f''(x) < 0 (Hochpunkt)
Wendepunkte:
- notwendig: f''(x) = 0
- hinreichend: f'''(x) > 0 (Rechts-Links-WP) oder f'''(x) < 0 (Links-Rechts-Wendepunkt)
Ich möchte dir mal andere Fälle in dem Zusammenhang näher bringen.
Nun sagen wir mal, f'(x) = 0 und f''(x) = 0. Was haben wir dann? Notwendige Bedingungen für beide Punkte sind erfüllt, ein WP kann es nicht sein - also ein Sattelpunkt. Oder ein Extremum!
Da f'(x0) Null ist, kommen erstmal zwei Punkte in Frage:
- Extremum
- Sattelpunkt
Wenn ein "normaler" Wendepunkt vorliegen würde, wäre f'(x) an dieser Stelle nicht Null. Die Bedingung, das f'(x0) = 0 sein muss, nennt man auch notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums. Wie gesagt, das ist notwendig, also muss erfüllt sein, dass ein Extremum vorliegt. Aber da ein Sattelpunkt ein Wendepunkt mit der Steigung Null ist, kann auch dieser vorliegen - da wäre f'(x0) natürlich ebenfalls Null.
Ich schreibe mit Absicht x0 statt x, man sagt auch "Die erste/zweite Ableitung an der Stelle x Null".
Nun ist auch die zweite Ableitung Null. Es kann immer noch sowohl Extremum als auch Sattelpunkt sein! Es ist damit nicht eindeutig geklärt, ob ein Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt.
Wir müssen uns also die dritte Ableitung anschauen. Ist diese größer oder kleiner Null an der Stelle x0, so liegt ein Wendepunkt vor - und der Sattelpunkt ist ja ein solcher. Ist f'''(x0) wieder Null, kann immer noch ein Sattelpunkt vorliegen.
Ich möchte mal zwei Beispiele zur Verdeutlichung meinerseits einführen.
Wir sagen, deine Funktion sei f(x) = 1/3x³ und du willst prüfen, ob bei x = 0 ein Extremum vorliegt. Dann leiten wir f ab:
f'(x) = x²
Nun setzen wir für x eben 0 ein:
f(0) = 0² = 0
=> die notwendige Bedingung ist erfüllt! Aber: Das muss noch nichts heißen! Es kann auch ein Sattelpunkt sein! Dazu brauchen wir die zweite und die dritte Ableitung:
f''(x) = 2x
f'''(x) = 2
=> Notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt: f'(xe) = 0 und f''(xe) = 0! Prüfen:
f''(0) = 2*0 = 0
f'''(0) = 2
=> Hier liegt ein Sattelpunkt vor, und zwar ein Rechts-Links-Sattelpunkt (da f'''(x) > 0)!
So, Sagen wir nun, wir hätten g(x) = x^4 und wollen prüfen, ob an der Stelle x = 0 ein Extremum vorliegt. Wieder g ableiten:
g'(x) = 4x³
Nun wird wieder für x der Wert 0 eingesetzt:
g'(0) = 4*0³ = 0
=> Auch hier ist die notwendige Bedingung erfüllt, wie im ersten Beispiel auch. Auch hier prüfen wir wieder die zweite und dritte Ableitung an dieser Stelle:
g''(x) = 12x²
g'''(x) = 24x
=> Nun wieder jeweils Null einsetzen:
g''(0) = 12*0² = 0
g'''(0) = 24*0 = 0
So, nun haben wir hier im Gegensatz zum ersten Beispiel das Problem, dass die dritte Ableitung nicht ausreicht, um die Existenz eines Extremums oder Sattelpunktes zu zeigen. Nun bringen wir eine andere Methode ins Spiel, nämlich die Vorzeichenwechselmethode. Die funktioniert ganz einfach: Wir berechnen die Nullstellen und schauen uns die Umgebung dort an. Machen wir das mal hier:
g(x) = 0:
x^4 = 0
=> x = 0
An der Stelle x = 0, nämlich unserer zu untersuchenden Stelle, liegt die Nullstelle der Funktion g(x) = x^4. Da wir hier eine biquadratische Funktion haben, ist hier zwangsläufig das Extremum unserer Funktion - es gibt bei der Funktion g(x) = x^4 nämlich nur eines. Biquadratische Funktion mit lediglich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur y-Achse, was bedeutet, dass diese Achse durch das Extremum verlaufen muss. Damit liegt zwangsläufig unser Extremum im Punkt E(0|0). Das kennst du doch von f(x) = x² auch, oder? Auch hier ist die Symmetrieachse die y-Achse, diese verläuft durch den Scheitelpunkt - also durch das Extremum - der Parabel.
So, das ist jetzt lasch begründet, stützen wir diese These mal mathematisch. Wir nehmen uns einen Wert rechts und links der Nullstelle und berechnen mal die Funktionewerte der Ableitungen:
g'(-1) = 4*(-1)³ = -4
g'(1) = 4*1³ = 4
Hier haben wir einen VZW (Vorzeichenwechsel) von - nach + => es liegt ein Tiefpunkt vor.
Schauen wir uns zur Sicherheit nochmal die zweite Ableitug an den gleichen Stellen an:
g''(-1) = 12*(-1)² = 12
g''(1) = 12*1² = 12
Hier hat kein VZW stattgefunden, weshalb gar kein Wendepunkt und somit auch kein Sattelpunkt vorliegen kann - es muss also ein Extrempunkt sein!
Schau mal hier rein:
=> http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/jahrgang112pdf/NotwendigeBedingungen.pdf
Ich hoffe sehr, dass ich dir mit den Beispielen etwas weiter helfen konnte, obwohl ich abgeschweift bin :)
Bei Fragen melde dich! :))
LG ShD
Bei beliebig oft differenzierbaren Funktionen gibt es nach dem Satz von Taylor ein einfaches Kriterium für einen Extrempunkt, welches notwendig UND hinreichend ist. Wenn f'(x) =0 UND f^n(x) die erste Ableitung ist mit f^n(x)<>0 wobei n eine gerade Zahl ist, genau dann ist es ein Extrempunkt an x Beispiel f(x)=x^4. Dann ist f'(x)=4x^3 und fur x=0 haben wir den ersten Teil der Bedingung. Jetzt bilden wir alle Ableitungen , aber alle sind 0 an der Stelle x=0. Bei der vierten Ableitungen. Ist es zum ersten Mal anders, denn es ist f''''(x)=24, und das ist zum ersten Mal ungleich 0 an der Stelle 0. Da 4 eine gerade Zahl ist, ist 0 eine Extremstelle.
Ich möchte kurz darauf eingehen, was mit "notwendig" und "hinreichend" gemeint ist.
"notwendig" sagt bereits aus, dass es unbedingt erfüllt sein muss. Also im Falle einer möglichen Extremstelle MUSS die Steigung des Graphen an dieser Stelle x_0 notwendigerweise Null ergeben, also es MUSS f'(x_0) = 0 erfüllt sein. Wenn dies erfüllt ist, prüft man entweder auf Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung für zwei Stellen x_1 und x_2 links und rechts in der näheren Umgebung der Stelle x_0. Einfacher geht es meistens, indem man schaut, ob die "hinreichende" Bedingung erfüllt ist, und diese wäre im Falle einer Extremstelle, dass die zweite Ableitung an der Stelle x_0 nicht den Wert Null annehmen darf. Ist aber nun f''(x_0) = 0, dann kann man NICHT einfach davon ausgehen, dass es dort keine Extremstelle geben kann, sondern muss anschließend auf Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung prüfen. Betrachte dazu die Funktion f(x) = x^4: Es ist f'(0)=0, aber auch f''(0)=0, dennoch ist x=0 eine Extremstelle, denn f'(-1)<0 und f'(1)>0 , somit liegt ein Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung vor. "hinreichend" bedeutet also, dass es nicht unbedingt erfüllt sein muss.
Extrempunkte
notwendige Bedingung: f'(x) = 0
hinreichende Bedingung: f''(x) < 0 (Hochpunkt) oder f''(X) > 0 (Tiefpunkt)
(für f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0 liegt ein Sattelpunkt vor)
Wendepunkte
notwendige Bedingung: f''(x) = 0
hinreichende Bedingung: f'''(x) ≠ 0