Wie viele Extremstellen bei Exponentialfunktionen?
Hallo :)
Gibt es eine Möglichkeit bei Exponentialfunktionen (z.B. 3,5e^(-2x) - ohne die Extrema zu berechnen - zu erkennen wie viele es gibt/wie viele es mindestens/maximal geben kann?
(So als Orientierung - wie man bei ganzrationalen Funktionen sagen kann, dass z.B. Nullstellen bzw eben Extrema (bei der ersten Ableitung) nie mehr vorhanden sind, als die Zahl des höchsten Exponenten ist)
Danke im Voraus!
5 Antworten
Die Ableitung einer Exponentialfunktion kann man ganz grob oft schon im Kopf abschätzen, weil die Funktion e^x ihre eigene Ableitung ist. Daraus folgt:
f(x) = g(x)*e^(h(x)) =>
f'(x) =[g'(x)+g(x)*h'(x)]*e^(h(x))
Da - wie schon in den anderen Antworten erwähnt worden ist - e^(...) keine Nullstellen hat, sind die Nullstellen der Funktion f(x) dort, wo die Funktion g(x) Nullstellen hat und die Extremstellen dort, wo
k(x) = g'(x)+g(x)*h'(x)
Nullstellen hat.
In deinem Beispiel wären g(x)=3,5 und h(x)=(-2x). Die Funktion hat also keine Nullstellen, da g(x)=3,5 keine Nullstellen hat und auch keine Extremstellen, da
k(x) = g'(x)+g(x)*h'(x) = 0+3,5*(-2) = -7
keine Nullstellen hat.
Falls die Funktionen g und h keine transzendenten Funktionen (also Sinus, Cosinus, Exponentialfunktionen*, ...) sind, kann man anhand der höchsten Exponenten in g und h abschätzen, welches der maximale Exponent in der Funktion k ist: Nämlich die Summe der beiden höchsten Exponenten minus eins. Dies ist dann auch die maximale Anzahl an Extremstellen.
*) Also f ist ein Produkt zweier Exponentialfunktionen oder der Exponent selbst ist eine Exponentialfunktion wie z.B. e^(e^x)
Beispiel:
f(x) = (x^3-6x^2+11x-6) * e^(x^5+4)
Der höchste Exponent der Funktion g wäre 3 (x^3) => Die Funktion f hat maximal 3 Nullstellen.
Da 3 ungerade ist, hat sie mindestens eine Nullstelle; wäre der höchste Exponent gerade, könnte sie auch keine Nullstelle haben.
Der höchste Exponent der Funktion h wäre 5 (x^5) => Die Funktion f hat maximal 3+5-1 = 7 Extremstellen.
Egal, ob die Zahl gerade ist oder nicht, kann man über die minimale Anzahl der Extremstellen nichts sagen.
Gibt es eine Möglichkeit bei Exponentialfunktionen (z.B. 3,5e^(-2x) - ohne die Extrema zu berechnen - zu erkennen wie viele es gibt/wie viele es mindestens/maximal geben kann?
Ja. Es sind null Stück, jedenfalls bei echten Exponentialfunktionen (also wenn das Argument linear in x ist, wie hier im Beispiel -2x) und im Reellen.
Der Funktionwert wächst oder fällt in konstanten x-Abständen um denselben Faktor, und da gibt es zwar ein Infimum, eine untere Schranke also (respektive ein Supremum, eine obere Schranke, wenn der Vorfaktor negativ ist), aber kein Minimum oder Maximum und übrigens auch keine Nullstelle.
Da die Ableitung im Übrigen proportional zum Funktionswert und diese damit ebenfalls eine Exponentialfunktion ist, gilt für die dasselbe, und für deren Ableitungen ebenfalls.
Bei deinem Beispiel gibt es keine Extrema, da die Funktion ständig fällt (für x -> unendlich geht f(x) gegen null). Bei anderen Funktionen kann das aber anders sein. Da solltest du Nullstellen (hier gibt es keine e"hoch irgendwas" ist immer größer Null) und Verhalten für x gegen +- unendlich betrachten!
Für Extremstellen gilt: Die Ableitung ist ebenfalls eine Exponentialfunktion, und daher gibt es auch keine Extremstelle.
Diese Funktion hat keine Nullstelle, weil die Eponentialfunktion keine hat.
Du schreibst:
3,5e^(-2x) = 0 l ln
=> ln(3,5) + ln(e^(-2x)) = 0
aber Du musst auf der rechten Seite auch logarithmieren!
1. Es geht mir um Extremstellen
2. Es geht mir um eine allgemeine Aussage
3. Diese Funktion hat schon 'ne Nullstelle.... :
3,5e^(-2x) = 0 l ln
=> ln(3,5) + ln(e^(-2x)) = 0
= ln(3,5) - 2x = 0 l + 2x
=> ln(3,5) = 2x l :2
=> ln(3,5):2 = x = 0.626..