Die kleinste Primzahl 2 nicht 1?
Warum ist die 2 die kleinste Primzahl und nicht 1.Also eine Primzahl ist wen sie nur durch sich selbst und durch 1 teilbar. 1 ist doch durch sich selbst Teilbar,logischerweise auch durch 1.Wieso ist dann 2 die kleinste Primzahl.
7 Antworten
Die Definition ist:
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat.
Und die 1 hat nur EINE natürliche Zahl als Teiler.
Die weitergehende Erklärung der Definition ist dann, dass:
Eine Primzahl eine natürliche Zahl größer als eins ist, die ausschließlich durch sich selbst und durch eins ganzzahlig teilbar ist.
Das verstehe ich nicht ganz.
Durch die Definition:
"Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat."
fällt die 1 doch sowieso nicht unter die Primzahlen.
Es heißt ja nicht höchstens zwei... , sonder genau zwei....
Warum dann noch eine zusätzliche Bestätigung?
Weil das der Grund war, warum man diese Definition so festgelegt hat. ;-)
Eine Definition ist schließlich mehr oder weniger willkürlich, schließlich ordnet sie nur einem bestimmten Sachverhalt eine Bezeichnung zu. Aber man hat sich eben genau überlegt, warum man Primzahlen exakt so definiert, damit eben das neutrale Element nicht von der Definition erfasst wird.
Die Motivation war also, dass man das multiplikativ neutrale Element eins nicht in der Definition einschließen wollte, damit die Primfaktorzerlegung eindeutig bleibt. Und aus diesem Grund hat man eine Primzahl als "natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat" definiert. ;-)
Eine Primzahl hat nur ZWEI Teiler :) Nämlich 1 UND die Primzahl selber. Bei 1 ist das das selbe. Lassen wir das einfach so stehen.
Es ist "praktisch", wenn es für jede Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung gibt.
Beispiel: 75 = 5 * 5 * 3
Es gibt keine andere gültige Primzahlzerlegung.
Würde die eins zur Primzahl erklärt, wäre die Zerlegung nicht mehr eindeutig, denn dann wären 5 * 5 * 3 * 1 oder 5 * 5 * 3 * 1 * 1 auch gültige Primfaktorzerlegungen der Zahl 75. Damit wäre die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht mehr gegeben und für bestimmte mathematische Zusammenhänge ist es eben "sinnvoll", wenn die Primfaktorzerlegung eindeutig ist, darum hat man das so festgelegt.
Eine Primzahl muss durch 2 verschiedene Zahlen, nur durch 1 oder nur durch sich selber teilbar sein. 1:1 ist die einzige Multiplikation die 1 ergibt, es sind aber nicht zwei verschiedene natürlich Zahlen.
Nun, die Zwei besitzt in der Teilermenge 2 Zahlen ; T2={1,2}
Wie du siehst, besitzt sie zwei natürliche Zahlen.
Jetzt die 1: T1={1} Sie besitzt nur eine Zahl in der Teilermenge.
Die 1 nimmt als neutrales Element bzgl. der Multiplikation eine Sonderstellung ein und wird deshalb nicht als Primzahl bezeichnet.