Aufgabe Funktionenschar?
Die funktion lautet x^3 -2 ax^2 + a^2x
Wie bestimme ich a so, dass es einen tiefpunkt an der stelle x= -1 gibt?
3 Antworten
Ich gehe von folgender Voraussetzung aus: a ϵ R \ { 0 }
Wenn man die erste Ableitung gleich Null setzt, gibt es zwei mögliche Kandidaten für Extrema: x_E1 = a und x_E2 = (1 / 3) * a
Diese Werte in die zweite Ableitung eingesetzt, führen jeweils zu Fallunterscheidungen:
f''(a) = 2 * a
Fall 1) a > 0 Tiefpunkt ; Fall 2) a < 0 Hochpunkt
Da x = -1 = a, kommt hier nur der Hochpunkt infrage. Gesucht ist aber der TP bei x = -1
f''((1 / 3) * a) = -2 * a
Fall 1) a > 0 Hochpunkt ; Fall 2) a < 0 Tiefpunkt
Da x = (1 / 3) * a ist, ist für x = -1 folglich a = -3. Für a = -3 liegt der TP bei x = -1.
Zunächst ist das was du da hingeschrieben hast keine Funktion, sondern ein Term. Eine Funktion(sgleichung) enthält ein "=". Die Extremstellen der Funktion
f(x) = x³ - 2ax² + a²x
berechnest du indem du die Ableitung der Funktion in Abhängigkeit von a berechnest und dann mit Hilfe der Mitternachtsformel (oder abc-Formel) die Nullstellen dieser Funktion suchst. Der Tiefpunkt liegt bei der größeren der beiden Nullstellen (warum muß das so sein?).
Extremstellen berechnen wie gehabt.
Und dann halt die zweite Ableitung betrachten.
Ja aber wenn ich es in die 2. Ableitung einsetze kann es ja mal ein hochpunkt aber auch ein Tiefpunk werden wegen der Fallunterscheidung. Wie mache ich es dann
Mach mal eine Skizze des Funktionsgraphen in Hinblick auf das Verhalten gegen ±Unendlich. Dann hast Du es.
Es ist für plus unendlich positiv und für minus unendlich negativ aber ich weiß nicht wie mir das weiterhilft
Es ist für plus unendlich positiv und für minus unendlich negativ
Richtig. 🙂👍
aber ich weiß nicht wie mir das weiterhilft
Überleg mal. Du verfolgtst den Graphen von links, also von -Unendlich kommend, nach rechts. Das Ding steigt und steigt. Irgendwann kommt dann die erste Extremstelle.
Preisfrage: Wird das ein Minimum oder ein Maximum sein? 😉
Ja aber dann bekomme ich 2 Lösungen einmal x= a und x= a/3
Dann unterscheidet man weil beide Stellen KÖNNEN ein minimum werden wegen dem a...wie mache ich es dann?