Der Grundgedanke von Karl Marx ist der Mehrwert. Das heißt, der Arbeiter arbeitet und schafft viel mehr Werte, als er selbst als Lohn erhält. Sowohl der Besitzer der Fabrik als auch der Arbeiter arbeiten gleichlange - aber der Arbeiter erhält viel weniger, da ihm mit dem Lohn nur ein Bruchteil der produzierten Güter zukommt.
Beispiel: ein Arbeiter produziert Maschinen im Wert von 1000 € pro Tag, erhält als Lohn aber nur 100 €. Es werden also 900 € vom Kapitalisten abgeschöpft (der Mehrwert), von denen er vielleicht 300 € benötigt, um seine Fabrik am Laufen zu erhalten. Also gewinnt er 600 € für sich selbst - von denen er nicht nur sein Leben bestreitet, sondern auch Luxus und Sinnlosigkeiten bezahlt (siehe beispielsweise den Quatsch in Dubai), während Millionen von Menschen überall auf der Welt verhungern.
Der entscheidende Punkt ist also, dass es im Kapitalismus seit 1750 riesige technische Fortschritte gab, die es möglich machen, die gesamte Menschheit mit ausreichend Gütern zu versorgen. Und trotzdem profitiert davon nur eine kleine Klasse - die Kapitalisten. Eben weil sie die Fabriken besitzen und so die Gewinne einstreichen können, Gewinne, für die sie genauso viel oder wenig gearbeitet haben, wie ihre Angestellten.
Dieser Zustand wird aber, eben aufgrund seiner großen Widersprüche, irgendwann in Krisen und Kriegen untergehen. Die Arbeiter lehnen sich zu einer Revolution auf und der Besitz von Fabriken und Land geht an die Arbeiter und die Gesellschaft über. Der Staat, der bisher von den Kapitalisten beherrscht wurde (egal ob "Demokratie" oder Diktatur) wird vom Proletariat übernommen. Das ist der Sozialismus.
In ihm werden die Fabriken vom Staat gesteuert, also von den Arbeitern. Der Staat muss ich gegen die Kapitalisten wehren, die versuchen, ihre alte Macht zurückzuerobern. Jeder arbeitet soviel wie er kann, und erhält soviel, wie er geleistet hat: "Jeder nach seinen Fähigkeiten, jeder nach seiner Leistung". Die Güter werden an staatliche Läden verkauft, die sie wiederum an die Arbeiter verkaufen.
Dies ist ein äußerst unbefriedigender Zustand. Es herrschen zwar bessere Verhältnisse als vorher, aber immer noch erhält der Mensch soviel wie er Geld hat. Natürlich muss er sich dieses Geld jetzt wirklich erarbeiten - aber wer eine Familie hat, der hat am Ende viel weniger übrig als der, der sein Geld nicht teilen muss.
Das Ziel des Sozialismus ist es nämlich den Staat absterben zu lassen, ihn langsam zu beseitigen, um schließlich die Unterdrückung zu beseitigen. Es gibt am Ende nur noch eine Klasse, die des Proletariats. Kein Mensch ist mehr dem anderen übergeordnet oder untergeordnet. Und das Geld wird abgeschafft. Es gibt nun: "Jeder nach seinen Fähigkeiten, jeder nach seinen Bedürfnissen". Das ist der angestrebte Endzustand, in dem jeder so viel arbeitet wie er kann und will, und so viel erhält, wie er braucht. Das ist der Kommunismus.
Zur DDR: man hat dort versucht, diese Prinzipien zu realisieren. Aber es ist auf breiter Linie gescheitert. Die Arbeiter hatten dort nie wirklich die Macht. Diese lag bei der Partei und ihren Funktionären, einer kleinen oberen Schicht, die höhere Löhne und bessere Güter als die anderen einstrich. Das war natürlich nicht so ein krasser Unterschied wie im Kapitalismus - aber es war ein Widerspruch, und irgendwann wurde das System von den Unterdrückten gestürzt - mit allen seinen guten und schlechten Seiten.
Das heißt natürlich nicht, dass es immer scheitern muss:)