Dein Android-Handy ist ja mit deinem Google-Account verbunden und ermöglicht dir somit einen kontrollierten Zugang zum Playstore von Google.
Als du dein altes Konto gelöscht hattest, wurde die Verbindung von deinem Googleaccount zu deinem Handy aufgehoben und das Handy fragt dich jetzt nach der Anmeldung, ohne die du nicht auf den Playstore zugreifen kannst. (Die alte E-Mail-Adresse wird nur deswegen angezeigt, weil sich Android diese gemerkt hat, das hat aber erst einmal keine weitere Bedeutung)
Generell hast du jetzt drei Möglichkeiten:
1) Du gibst auf deinem Handy die Daten deines neuen GMAIL-Accounts ein und alles ist wieder wie vorher (E-Mail-Adresse ändern kannst du unter Einstellungen --> Accounts)
2) Wenn du nicht von Google abhängig sein willst, kannst du einen alternativen Appshop (Google Play Store ist der Originale), etwa Aptoide oder Amazon Appstore, installieren. Damit dieser funktioniert, musst du aber Installationen aus unbekannten Quellen zulassen. Wie das funktioniert erfährst du, wenn du bei einer Suchmaschine dein Handymodell + Installation aus unbekannter Quelle eingibst. Nachteil ist, dass die Apps eventuell nicht oder nur unzureichend auf Viren und Aktualisierungen geprüft wurden. Um den Appstore an sich zu installieren, musst du auf dessen Internetseite die APK downloaden (Anleitung befindet sich auf der jeweiligen Seite)
3) Du kannst, am aufwendigsten, ein sogenanntes Custom Rom, etwa
CyanogenMod, installieren. Diese beinhalten entweder einen eigenen Appstore oder ermöglichen dir problemlos Zugriff auf andere (evtl. mit Registrierung notwendig). In den eingebauten Appstores sollte prinzipiell nichts gefährliches enthalten sein, für die anderen s. Punkt 2). Ein Custom Rom heißt zwar, dass du dann (völlig) von Google unabhängig sein kannst, aber es bedeutet, dass du dein Handy von Grund auf neu einrichtest (also mit Kontakte einrichten etc.).
Von daher würde ich dir raten, entweder Punkt 1 oder Punkt 2 zu nehmen.