Wie schon gesagt:
Psychiater*innen sind Fachärzt*innen ("Fachärzt*in für Psychiatrie und Psychotherapie") und behandeln sehr breit, auch psychotherapeutisch.
Sie haben noch andere fachärztliche Funktionen, wie Ausstellung von Attesten, Krankschreibungen, Beantragen von Leistungen der Rentenversicherung, Gutachtenerstellung usw.
Allerdings sind die meisten wegen des Fachärztemangels gerade in dem Bereich der Psychiatrie oft nicht psychotherapeutisch tätig. Wenn man böse ist, könnte man auch unterstellen, dass Psychotherapie für eine Psychiater*in ein finanzielles Verlustgeschäft darstellt, wobei Psychiater*innen eh schon zu den eher schlecht vergüteten Ärztegruppen gehören -- daher der sich immer weiter verschärfende Mangel in dieser Fachärztegruppe.
Es gibt aber vereinzelt auch Psychiater*innen, die einen halben oder ganzen Kassensitz als ärztliche Psychotherapeut*in besetzen. Dann steht in der Datenbank der Kassenärztlichen Vereinigung zusätzlich zur Facharztbezeichnung auch "psychotherapeutisch tätige Ärzt*in".
Ärztliche Psychotherapeut*innen, insbes. psychotherapeutisch tätige Psychiater*innen, haben intern ungeschrieben auch mehr Möglichkeiten, als nicht-ärztliche Psychotherapeut*innen. Sie betreuen oft (sozial-) psychiatrische, chronische Patient*innen, oft schon jung berentet ohne Aussicht auf Besserung, in stützenden Einzel- und Gruppenangeboten als "Endlostherapien". Anträge, die bei nicht-ärztlichen Psychotherapeut*innen das Gutachterverfahren, u.a. mangels günstiger Prognose, nicht überstehen.
Dem gegenüber fasst die Bezeichnung "Psychotherapeut*in" alle psychotherapeutisch tätigen Ärzte (auch andere, als Psychiater*innen, wie Psychosomatiker*innen oder Fachärzt*innen anderer Gebiete wie Gynäkologie, Urologie, Orthopädie usw. mit Zusatzbezeichnung Psychotherapie / fachgebundener Psychotherapie) sowie die Psychologischen Psychotherapeut*innen, die Kinder- und Jugendlichentherapeut*innen und Assistenz- und Fachpsychotherapeut*innen nach dem neuen PsychThG zusammen.
Psychologische Psychotherapeut*innen haben Psychologie (Uni Diplom oder Master) studiert und danach ein post-graduales Studium als weiterführende staatl. Ausbildung in Psychotherapie mit Abschluss Staatsexamen beim Landesprüfungsamt mit Fachkunde in in einem Verfahren absolviert, damit eine Approbation erlangt, und bieten primär Richtlinienpsychotherapie an; seit 2017 auch erweiterte Angebote wie Sprechstunden, Akutbehandlungen und einige Verordnungen (z.B. Krankenhausbehandlung, Reha über die Krankenkasse, häusliche psychiatrische Krankenpflege). Atteste, Krankschreibungen, Leistungen der Rentenversicherung, Medikation etc. sind aber Ärzt*innen vorbehalten.
Dies gilt auch für Kinder- und Jugendlichentherapeut*innen, aber beschränkt auf bestimmte Altersgruppen (Kinder, Jugendliche, seit 2017 explizit auch junge Erwachsene). Der Zugang ist neben Psychologie auch über pädagogische Abschlüsse, auch an früheren Fachhochschulen möglich.
Assistenzpsychotherapeut*innen haben (demnächst) Psychotherapie studiert (sog. Direktstudium) und mit Master und Staatsexamen / Approbationsprüfung zugleich abgeschlossen, sie arbeiten stationär, teilstationär und in Klinikambulanzen psychotherapeutisch. Fachpsychotherapeut*innen haben während dieser Zeit eine fünfjährige Weiterbildung (also keine Ausbildung mehr) absolviert und in einem Verfahren eine Fachkunde erworben (dann voraussichtlich über die Psychotherapeutenkammer, nicht mehr das Landesprüfungsamt). Dieser Weg wird, zusammen wie bisher dem Medizinstudium und Weiterbildung, mit einer Übergangszeit von zwölf Jahren, der einzige Weg zum Beruf der Psychotherapeut*in sein.