Ich denke kommutativ, assoziativ ist recht klar. abgeschlossenheit auch (dass beides von RxR->R geht).

additives neutrales element ist die 0, oh wunder.

aber bei * müsste ich mal gucken:

sei x beliebig aus R.
zu finden sei das neutrale element k sodass
x*k=x
gilt.

Also
xk/2=x
x*(k/2-1)=0
wird immer erfüllt falls
k/2-1=0, also
k=2 ist.

Probe:
x*k=xk/2=x*2/2=x*1=x passt! :-)

additives inverses element dürfte recht offensichtlich
-x sein, wie man es schon kennt.
multiplikatives inverses muss man gucken:

x*k soll gleich 2 sein.
Also

xk/2=2

xk=4

k=4/x
x ungleich 0 vorausgesetzt, ist das inverse von x gleich 4/x.

probe:

x*k=xk/2=x/2*4/x=2 passt! :-)

distributiv:
seien ab,c halt reelle zahlen.
dann ist: (+ soll nahcfolgend für das erste operationssymbol stehen, unter Anderem)

Was genau dein Lehrer gemacht hat, kann ich dir auf Anhieb auch nicht sagen.
Aber was ich machen würde:

ich würde ein Dreieck so in ein Koordinatensystem legen dass die längste Seite vom ursprung aus nach rechts oben geht.

Also so legen dass die eine Ecke im Ursprung liegt, die a Seite auf der x-achse leigt und die b seite senkrecht dazu bei x=a ist.

Dann geht die lange Seite des Dreiecks vom ursprung aus nach rechts oben.

Diese lange Seite kann man mittels einer Geraden modellieren:
f(x)=(b/a)*x

Steigung halt b/a wegen des Steigungsdreiecks. und y-achsenabschnitt 0, da es ja durch den ursprung geht.

Die Fläche des Dreiecks ist dann gleich dem Integral von x=0 bis x=a von f(x)

Damit kommst du dann durch übliches integrieren auf
Integral von x=0 bis x=a von (b/a *x)
=[(b/a)/2*x^2] x=0 bis a

=b/(2a)*a^2 - b/(2a)*0^2
=b*a/2
Was die übliche Formel für die Fläche eines Dreiecks ist :-)

was ansosnten dein lehrer so gerechnet hat, weiß ich nicht.
Stammfunktion bei x=0 ist 0, klar.
und bei x=a ist es eben b*a/2.

Ich blicke also auch nicht durch was er da so gerechnet hat :-)
Gibts eventuell eine skizze oder so dazu?

Nahcfolgend erst wie man die Volumenformel herleitet, musst du nicht zwingend verstehen können.
Und am Ende, unterm Trennstrich, die Formel und die Anwendung auf deine Aufgabe.
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Herleitung der Volumenformel:
Wir integrieren über den Querschnittsflächeninhalt in verschiedenen Höhen.
In der Höhe h=0 ist er 12*16=192.
in der Höhe h0=hmax ist er 0.
Wie es zwischendrin aussieht , müssen wir untersuchen.

Die Breite müsste in gewissem Maße proportional zur Höhe sein:
b=bmax*(1-h/hmax)
bei h=0 ist b maximal, bei h=hmax ist es 0. und dazwischen halt skaliert.

analog die länge l:

l=lmax*(1-h/hmax)

wegen Flächeninhalt=breite mal länge folgt dann:

F(h)=bmax*lmax*(1-h/hmax)^2

(1-1/hmax*h)^2
=1-2/hmax*h+(1/hmax)^2*h^2

daher
F(h)=bmax*lmax*1 - bmax*lmax*2/hmax * h + bmax*lmax*(1/hmax)^2 * h^2

Alles bis auf h sind hier kosntanten, daher ist das schlicht eine Parabel oder ein polynom zweiten grades.

Nun weiter:
Wie erwähnt, wollen wir das Volumen durch integration über alle Flächeninhale finden.
Also

V=Integral von h=0 bis h=hmax von (F(h))

dcazu brauchen wir die Stammfunktion von F(h).

Weils anders nervig wird und unschön, führen wir ein paar Abkürzungen ein:
c:=bmax*lmax*1, b:=- bmax*lmax*2/hmax, a:=bmax*lmax*(1/hmax)^2
(a,b,c sind hier einfahc kosntanten, b hat hier nichts mit der Breite von eignangs zu tun!)

damit also F(h)=ah^2+bh+c

die Stammfunktion hiervon ist bekanntlich:

StammF(h)= a/3*h^3+b/2*h^2+ch
Damit folgt dann fürs Integral:
V=Integral h=0 bis h=hmax von (F(h))
= StammF(hmax)-StammF(0)
=a/3*hmax^3+b/2*hmax^2+c*hmax=hmax*(a/3*hmax^2+b/2*hmax+c)

Nun einfach noch a,b,c durch die ursprünglichen Asudrücke ersetzen, etwas verkürzen , ausklammern und so damits schöner aussieht:
hmax*(a/3*hmax^2+b/2*hmax+c)
=hmax*(
(bmax*lmax*(1/hmax)^2)/3*hmax^2
+(- bmax*lmax*2/hmax)/2*hmax
+bmax*lmax
)
=hmax*(
(bmax*lmax/3
- bmax*lmax
+bmax*lmax
)

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Fazit:

Daher also
V=hmax*bmax*lmax/3

Langer Rede, kurzer Sinn:
Das Volumen ist 1/3 des Volumens eines Quaders (aka "3d Rechteck") mit den Seitenlängen lmax,bmax,hmax :-)

Die Formel und Lösung lautet also in deinem Beispiel:
460,8=V(h)=(12*16*h)/3=64*h

daher ist nach umstellen dann

h=460,8/64= 7,2 :-)

Langsam.
Wurde es abgebucht (sprich: Lastschrift, passiert ganz ohne dein zutun)
oder hats du dort Geld hin überwiesen?

Lastschriften kann man zurück holen lassen, ob da dann für das Fitnessstudio kosten auftreten würden, weiß ich nicht.

Wann genau war denn die Abbuchung?

Ich würde einfach mal direkt mit dem Fitnessstudio Kontakt aufnehmen.

Das mit denen klären dass die weniger Geld zugut hatten und es zurücküberweisen sollen.
Sind diese kooperativ, würde ich mal bis 4 Wochen ab dem Abbuchungsdatum warten.
Kommt das geld bis dahin wieder auf dein Konto, dann gut.
Ansosnten würde ich zur Bank gehen und es zurückholen lassen.
Lastschriften kann man bis zu 6 Wochen zurückholen lassen (kostet dich nix).

Sind es hingegen A-löcher am Telefon, sofort zurückholen lassen.

Und in allen Fällen, nachdem das geld zurück ist, den richtigen geldbetrag dorthin überweisen.

Aber zuerst würde ich mal den Kontakt suchen und freundlich aber bestimmt auf das zuviel abgebuchte hinweisen.

Spielen die nicht mit, dann das Ganze nochmal in schriftlich.

Weil dann wird diese Meinungsverschiedenheit sich wohl so einfahc nicht klären lassen

Ehm, Leute, das ist falsch? O_o

A=pi*r^2
=3,14 *(3mm)^2=3,14*9 mm^2
=28,26 mm^2

die 3 muss auch quadriert werden, nicht nur die Einheit! :O