Jede differenzierbare Funktion ist stetig. Was gilt bei abschnittsweise def. Funktionen?
Hey Leute,
ich stehe gerade auf dem Schlauch. An der Uni lerne ich, dass jede diff‘bare Funktion stetig ist.
Betrachten wir nun eine Funktion f, die abschnittsweise definiert ist:
f(x)=x^3 für x<0, f(x)=x^2+1 für x>=0.
Der Übergang ist diff‘bar, denn die Ableitungen konvergieren von beiden Seiten gegen den gleichen Wert, nämlich Null.
Der Übergang ist aber alles andere als stetig, denn von links nähere ich mich der Null, von rechts aber der 1.
Diese abschnittsweise def. Funktion ist also im Übergang diff‘bar, aber nicht stetig.
Gilt die Folgerung f diff‘bar, also f auch stetig nur für nicht-abschnittsweise def. Funktionen?
Noch eine Frage: Reicht es überhaupt um für den Übergang Stetigkeit zu zeigen, dass man die Funktion von beiden Seiten gegen die Stelle laufen lässt und den Grenzwert vergleicht? Gleiches für die Diff‘barkeit, reicht das hier auch die Ableitung von beiden Teilen gegen die Stelle konvergieren zu lassen?
Ich würde mich sehr über Rückmeldungen freuen! :)
