Da die Frage sehr oft kommt, hier erst mal das, was ich immer antworte:
Der Kapitalismus beruht darauf, dass das Eigentum an den Produktionsmitteln (d.h. Fabriken, Maschinen, Transportmittel, Boden usw.) Privatpersonen gehört. Allerdings besitzt nur eine kleine Minderheit solche Produktionsmittel (diese nennt man die Kapitalisten, oder halt "Unternehmer"). Die große Mehrheit der Menschen besitzt keine Produktionsmittel. Da sie aber trotzdem Nahrung, Wohnung usw. brauchen, müssen sie ihre Arbeitskraft verkaufen, um Geld zu verdienen. D.h. sie müssen Lohnarbeit für die Kapitalisten leisten. Diese sehr große Gruppe von Menschen nennt man die Arbeiterklasse. Sie schaffen mit ihrer Arbeit den Reichtum der Gesellschaft. Dafür bekommen sie einen Lohn - nur ist dieser Lohn immer viel niedriger als der Reichtum, den ihre Arbeit schafft. Die Differenz zwischen beidem ist dann der Profit der Unternehmer. Die Unternehmen machen also Profit dadurch, dass sie die Arbeiter ausbeuten, d.h. indem sie ihnen weniger zahlen, als sie mit ihrer Arbeit verdienen. Das können sie tun, allein weil die Machtverhältnisse in der kapitalistischen Gesellschaft so sind: Den einen gehören die Fabriken und sie kontrollieren auch den Staat, die anderen haben gar nichts und müssen deshalb arbeiten gehen. Den Profit investieren die Kapitalisten dann wieder, um ihre Produktion auszuweiten (z.B. durch neue Maschinen oder Technologien oder indem sie mehr Arbeiter einstellen). Damit erlangen sie einen Vorteil über ihre Konkurrenten und können ihre Profite erhöhen, um dann erneut zu investieren. Das Prinzip, nach dem sich der Kapitalismus entwickelt, ist also folgendes: Geld wird investiert, um Profit zu erzielen, also mehr Geld zurückzubekommen, das man dann wieder investieren kann. Der Profit ist damit das einzige Ziel des gesamten wirtschaftlichen Ablaufs. Deswegen können weder die Interessen der Arbeiter, noch so etwas wie Umweltschutz im Kapitalismus berücksichtigt werden, denn all das verursacht dem Kapital Kosten, ist also Abzug vom Profit. Die Arbeiter und Kapitalisten haben also gegensätzliche Interessen, die sich nicht miteinander vereinbaren lassen: Während die Arbeiter natürlich mehr Lohn haben wollen, da sie den zum Leben brauchen, wollen die Kapitalisten möglichst wenig Lohn zahlen und möglichst viel aus ihren Arbeitern herauspressen. Daher findet ein ständiger Kampf zwischen den Arbeitern und Kapitalisten statt. In regelmäßigen Abständen sinkt außerdem der Anteil des Profits am investierten Kapital auf ein so niedriges Niveau, dass es sich für die Kapitalisten nicht mehr lohnt zu investieren, oder sie sogar bankrott gehen, weil die Gewinne zu niedrig sind, um z.B. Kredite zurückzuzahlen. Das nennt man dann Krise: Auf der einen Seite findet Überproduktion von sehr vielen Waren statt, auf der anderen Seite gibt es aber niemanden der sie kauft. Also Überfluss und Verelendung gleichzeitig. Es ist hier nicht möglich, genau zu erklären, wie das zustande kommt (bei Interesse noch mal nachfragen). Wichtig ist nur, dass es im Kapitalismus zwingend immer wieder zu Krisen kommt und diese sich auch tendenziell verschärfen. Dadurch ist der Kapitalismus keine Gesellschaft, die für die Ewigkeit gemacht ist. Er schaufelt sich sozusagen sein eigenes Grab.
Der Sozialismus/Kommunismus funktioniert als Produktionsweise dagegen ganz anders. Sozialismus ist eine Gesellschaft, in der die politische Macht in den Händen der Arbeiterklasse liegt, also in den Händen der großen Mehrheit der Bevölkerung, die mit ihrer Hände Arbeit den Reichtum schaffen. Sozialismus ist gleichzeitig eine Gesellschaft, in der die Produktion und die gesamte Organisation der Wirtschaft demokratisch kontrolliert und geplant ist, also gesellschaftliches Eigentum und kein Privateigentum ist. Ziel der Produktion sind die Bedürfnisse der ganzen Gesellschaft und nicht die einer winzigen Minderheit von Industriellen oder Finanzinvestoren. Es wird also ermittelt, welche Bedürfnisse es in der Gesellschaft gibt, dann wird der beste Weg berechnet, diese Bedürfnisse mit den vorhandenen Ressourcen zu befriedigen. Dieser Plan wird dann an alle Betriebe geschickt und muss von diesen verbindlich umgesetzt werden. Weil die Produktion dann eben nach Plan verläuft und nicht für den Profit, gibt es auch keine Krisen. Das kann man übrigens auch historisch beobachten: In der Sowjetunion gab es ja eine solche Planwirtschaft und daher gab es keine zyklischen Wirtschaftskrisen, sondern ein mehr oder weniger gleichmäßiges Wachstum (auch wenn die Wachstumsraten in den letzten Jahrzehnten aus verschiedenen Gründen abnahmen). Es gibt auch keine Arbeitslosigkeit, weil die Arbeit nach dem Plan so verteilt wird, dass jeder seinen Teil beiträgt und seinen Teil vom gesellschaftlichen Kuchen abbekommt. Der Sozialismus ist dabei nur die erste Stufe. Im Sozialismus gibt es noch Überreste des Kapitalismus (es kann anfangs sogar noch kleine private Unternehmen geben). Im Kommunismus ist dann die ganze Wirtschaft gesamtgesellschaftliches Eigentum und wird nach dem Plan organisiert.
Der Sozialismus kommt historisch erst nach dem Kapitalismus: der Kapitalismus entwickelt die Produktivkräfte (also den Stand der Technologie und Produktionsmethoden) so weit, dass es möglich wird, die gesamte Wirtschaft zentral zu planen. Mit einer Wirtschaft wie im Mittelalter, wo es nur unzählige kleine Handwerksbetriebe und Bauernhöfe gab, wäre das natürlich gar nicht möglich gewesen, aber da die wichtigsten Produktionszweige sowieso schon in riesigen Unternehmen organisiert sind, in denen auch im Kapitalismus schon sehr viel Planung stattfinden muss, kann man sie relativ einfach in gesellschaftliches Eigentum übernehmen und zentral planen. Außerdem bringt der Kapitalismus die Arbeiterklasse hervor, die ein Interesse daran hat, ihn durch eine Revolution abzuschaffen und eine andere Gesellschaft aufzubauen – den Sozialismus. Allerdings kommen die Arbeiter da in der Regel nicht von alleine drauf und können dieses Ziel ohne Organisierung auch nicht erreichen. Deshalb kann die sozialistische Revolution nur unter der Führung einer kommunistischen Partei erkämpft werden, die das entsprechende Bewusstsein in die Arbeiterklasse trägt und in den täglichen Kämpfen zwischen Arbeitern und Kapitalisten eine führende Rolle spielen muss. Historisch gesehen war das in Deutschland (in der Weimarer Republik) die KPD, die diese Rolle gespielt hat, bevor sie von den Nazis zerschlagen wurde.
Das sind erst mal nur die allerwesentlichsten Punkte. Kürzer ging es leider nicht, sorry :)