Erst einmal sollten wir eine anschauliche Vorstellung davon gewinnen, wie die Menge (Ich nenne sie im Folgenden einfach mal M) aussieht. Sie stellt einfach den Graphen der Funktion f(x)=x^3 im R2 da, für Werte von 2 < x < 17. Daran kann man dann auch schon leicht erahnen, dass M weder offen noch abgeschlossen ist.
Abgeschlossen heißt eine Menge wenn keine Folge existiert, deren Elemente alle in M liegen, aber die gegen einen Wert außerhalb der Menge konjugiert. Also der Rand von M ist Teilmenge von M. Als Gegenbeispiel kann man hier einfach wählen. a_n stellt eine Folge von Punkten auf dem Graph von x³ da, deren Elemente alle in der Menge liegen. Der Grenzwert allerdings ist der nicht in M liegt. M ist also nicht abgeschlossen.
Das heißt aber nicht automatisch, dass M offen ist. Bei einer offenen Menge muss für jeden Punkt in M eine Umgebung existieren, die auch in M liegt.
Der Punkt (3,27) ist z.B. Element von M. Ich kann aber z.B. kein Epsilon > 0 finden, sodass noch Element der Menge ist.
Anders gesagt.
Eine Offene Menge enthält kein Element ihres Randes.
Eine Abgeschlossenen Menge enthält ihren gesamten Rand.
Unsere Menge hat aber den Rand Die Elemente (2,8) und (17, 17³) sind Element des Randes, aber nicht der Menge, sie ist also nicht abgeschlossen.
Gleichzeitig sind aber alle anderen Elemente des Randes Elemente der Menge, sie ist also auch nicht offen.