1/6 ist nicht 1,66... % sondern 16,6... % =P

Wahrscheinlichkeiten multiplizieren ist die richtige Variante. Du musst dir aber folgendes überlegen:
Es ist wichtig, ob du nach jedem Schuss noch einmal den... Lauf (?, wie heißt das bei der Pistole, wo man die Kugeln reintut?) drehst. Denn nur dann ist die Wahrscheinlichkeit bei jedem Schuss 1/6 dass du schießt, und 5/6, dass du nicht schießt.
Schießt du einfach durchgehend weiter, so verändern sich die Wahrscheinlichkeiten. Beim 1. Schuss ist es noch 1/6, beim zweiten dann aber 1/5 (da ja ein Schuss schon abgefeuert wurde) und so weiter.

Betrachten wir den 1. Fall. Dann schreiben wir nun p = 1/6. Das ist also die Wahrscheinlichkeit, dass man schießt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass du mit dem ersten Schuss triffst, aber mit den nächsten 3 nicht:

p*(1-p)*(1-p)*(1-p) = p*(1-p)³

Das ist jetzt aber nur eine Möglichkeit, du könntest ja auch erst beim letzten Schuss treffen. Dafür ergibt sich dann:

(1-p)³*p

Das ist die gleiche Wahrscheinlichkeit wie eben auch schon. Wir müssen nun also alle Möglichkeiten durchgehen, an welcher Position ein Schuss fallen kann, wenn man 4 Schüsse macht. Dies kann man einfach mit dem Binomialkoeffizienten ausrechnen. Dazu müssen wir "4 über 1" rechnen. Das ist:

4 über 1 = 4!/(3!*1!) = 24/6 = 4

Es gibt also 4 Möglichkeiten dafür (ist auch nicht verwunderlich, eben an jeder Position der 4 Positionen einmal). Nun können wir somit ausrechnen:

4*p*(1-p)³ = 125/324 = 38,6 %

Das ist jetzt aber nur die Wahrscheinlichkeit, dass du mit einem Schuss auch einen Schuss abfeuerst und mit den anderen drei nicht. Wenn wir also berechnen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass mindestens 1 Schuss trifft, müssen wir folgende Summe berechnen (tut mir echt leid, ich weiß nicht, wie ich in gutefrage die Formelzeichen einbetten kann, daher gibts die Formel so in Textform):

Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Schuss ein echter Schuss ist =
Summe(von i = 1 bis 4) von (4 über i)*(p^i)*((1-p)^4-i)

Da verallgemeinern wir das, was wir zuvor gemacht haben. Wir rechnen p^i weil wir i viele "Erfolge" haben und (1-p)^4-i, weil wir i viele Misserfolge haben. Jedes mal gibt es 4 über i viele Möglichkeiten.

Rechnen wir das aus, erhalten wir 671/1296 = 51,8 %

Sinn einer universellen Eigenschaft ist es, etwas abstrakt zu definieren. Beim Tensorprodukt beispielsweise. Man möchte Einen Vektorraum oder einen Modul haben, der eine ganz bestimmte Eigenschaft hat - nämlich die universelle Eigenschaft. Anstatt nun diesen Vektorraum oder Modul konkret anzugeben, sagt man einfach, jeder Vektorraum/Modul der diese universelle Eigenschaft erfüllt heißt halt Tensorprodukt. Anschließend gibt man einmal konkret an, dass es so einen Vektorraum/Modul auch gibt (Existenzbeweis). Anschließend kann man aber mit dem Tensorprodukt arbeiten, in dem man einfach nur die universelle Eigenschaft anwendet. Man muss nicht genau verstehen, was das konkret ist, man muss einfach nur wissen, dass es diese universelle Eigenschaft erfüllt, daraus ergeben sich dann alle Dinge, die man über das Tensorprodukt wissen muss. Alle Vektorräume/Moduln die dann die universelle Eigenschaft erfüllen sind isomorph, daher kann man einfach von dem Tensorprodukt reden und abstrakt die universelle Eigenschaft anwenden.

Und so ist eben der allgemeine Sinn von universellen Eigenschaften.

Ich kenn nicht eure verwendete Notation und allgemein ist gutefrage nicht die beste seite für mathematische Symbole (oder ich kenn mich nicht gut genug aus, um welche einzubetten). Aber ich versuch mein bestes:

Hier ist f unsere Abbildung die wir in JNF bringen wollen und A ist die darstellende Matrix von f. Nun soll t ein Eigenwert von f sein. Für jeden Eigenwert wollen wir die Basis eines Hauptraums bestimmen. Was ist also ein Hauptraum?

H(t) := Vereinigung über alle i aus IN von: Kern((f-t*id)^i)

Das ist die Definition. Das ist also der Hauptraum. Was machen wir, wenn wir das ausrechen wollen? Wir berechnen einfach Kern(f-t*id)^i. Dazu schreiben wir zunächst das ganze als Matrizen, statt als lineare Abbildungen. Wir schreiben also statt f-t*id folgende Matrizen: A - t*En (hierbei soll En die Einheitsmatrix sein, da die Darstellungsmatrix der Identität die Einheitsmatrix ist). Schreiben wir nun B:= A-t*En.

Da wir den Kern ausrechnen wollen ist dies bei Matrizen das gleiche, als würden wir einfach ein homogenes lineares Gleichungssystem ausrechnen: L(B, 0). Aber wir sollen den Kern für die i-fache hintereinanderausführung ausrechnen. In Matrizen bedeutet das einfach, dass wir B^i ausrechnen. Dann suchen wir nun L(B^i, 0).

Gut, wir haben jetzt die Formel oben fast in Matrizen ausgedrückt und können das nun leicht ausrechnen, denn wenn wir L(B^i, 0) für alle i ausrechnen, dann wird uns auffallen, dass sich irgendwann die Lösungsmenge nicht mehr ändern wird. Wir müssen also nur so viele i's durchgehen, bis sich L(B^i, 0) nicht mehr ändert. Die Vereinigung dieser L(B^i, 0) ist dann unser Hauptraum von dem einen Eigenwert.

Warum berechnen wir diese nun? Nun, wäre f diagonalisierbar, so müssten wir nur L(B^1, 0) ausrechnen, das wäre der Eigenraum von dem Eigenwert von t. Für L(B^2, 0) etc. würde sich die Lösungsmenge nicht unterscheiden. In dem Fall wäre also unser Hauptraum der Eigenraum. Es sind aber nicht alle f diagonalisierbar. Das heißt, wenn wir L(B^1, 0) ausrechnen, bekommen wir zu wenig Eigenvektoren für eine komplette Basis unseres Vektorraums. Wir brauchen also mehr Vektoren. Und dafür berechnen wir halt den gesamten Hauptraum, indem wir auch L(B^2, 0) etc. berechenen, bis sich der Hauptraum nicht mehr ändert. Denn wenn wir nun für jeden Hauptraum aller Eigenwerte von f eine Basis finden, können wir diese zu einer Basis unseres Vektorraums vereinigen, denn wir haben nun genug Vektoren.

Noch hat das ganze aber nicht die Jordan-Normalform. Daher suchen wir innerhalb unseres Hauptraums eine ganz bestimmte Art von Basis. Nennen wir die Basis C.

C := { u1, B*u1, B^2*u1, ..., B^a(1)*u1, u2, B*u2, ... , B^a(2)u2, ... , uk, B*uk, ... , B^a(k)*uk}

Wenn f diagonalisierbar wäre, dann wäre unsere Basis insbesondere:

C = { u1, u2, ..., uk }

Was man sich jetzt bei der JNF überlegen kann ist, dass immer u1, ... , B^a(1)*u1 und so weiter einen Jordan-Block zu dem Eigenwert bilden. Daran sehen wir dann auch die Länge des jeweiligen Jordan-Blocks. Also ist k insbesondere die Anzahl der Jordan-Blöcke.

Jetzt berechnest du diese Basen für jeden Eigenwert und fügst sie zusammen, dann hast du eine Basis, die dir die Jordan-Normalform von f liefert. Ist also viel rechnen, bei dem man auch immer irgendwo einen kleinen dummen Fehler machen kann. Achso, ich habe jetzt hier nicht angegeben, wie man die Basis C allgemein ausrechnet, aber vielleicht steht das ja bei euch im Skript und das hier hat erstmal weitergeholfen und ist auch schon schwer zum Verdauen.

Ich empfehle auch hier diesen Artikel: "Kochen mit Jordan" (der Artikel erklärt das aber evtl. ein wenig anders als ich, da ich mich eher an meinem Skript gehalten habe).

https://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf

Ich bin mir nicht 100% sicher, ob das alles was ich hier geschrieben habe richtig ist, aber ich meine, so müsste es sein. Ich lerne auch gerade für die Klausur, also hat mir das jetzt auch ein bisschen geholfen noch mal den Stoff durchzugehen, danke^^

Nach Wikipedia ist eine reguläre Matrix eine Matrix, die invertierbar ist.

Dann berechne den Rang der Matrix oder die Determinante. Ist die Determinante invertierbar (in den reellen Zahlen also ungleich 0), so ist auch die Matrix invertierbar. Ist der Rang voll (in dem Fall hier also n), so ist die Matrix auch invertierbar.

Wenn ich es richtig sehe (und die Einträge da in den rellen Zahlen sind), so sollten a und b beliebige Werte annehmen können und c muss einen Wert ungleich 0 annehmen.

Nein, die angegeben Füllhöhe und das Warten von 5 Minuten ist dazu gedacht, dass das Gericht lecker wird. Ansonsten hast du ja beispielsweise noch harte Nudeln, halb gelöstes Pulver und kochendes Wasser und davon auch noch zu viel.

Nein, nicht ganz^^

Schlüsseln wir mal auf, was genau eigentlich 2,4-Dimethylpentan bedeutet. Beginnen wir erstmal damit, was Pentan ist. Pentan ist ein Kohlenwasserstoff mit 5 C Atomen (daher ja auch Pentan, Penta steht ja für fünf). Nun kann dieser Kohlenwasserstoff jedoch eine Seitenkette haben, wie du ja schon gesagt hast. Wir können einfach einen Kohlenwasserstoff an unser Pentan anhängen. Beispielsweise Methan, dieses bestitzt nur ein C. Wenn wir dieses Methan an das erste C-Atom der Pentankette hängen, dann wird unser Pentan einfach nur zu einem Hexan (6 C-Atome in einer Reihe), da es keine Verzweigungen gibt. Interessant wird es erst, wenn wir das C-Atom nicht am ersten oder letzten C des Pentans anhängen, denn dann entstehen Verzweigungen im Molekül. Und diese Verzweigungen waren ein Problem bei der Benennung. Denn das Hexan mit einer unverzweigten C6-Kette enthält genau die gleichen Anzahlen von Atomen, wie unser verzweigtes Pentan, an das wir ein Methan angehangen haben.

Man hat sich daher ein Bennenungsschema ausgedacht:

Der letzte Teil des Namens bezieht sich auf die längste lineare Kohlenwasserstoffkette. Bei deinem Beispiel ist dies Pentan, wir können also schon mal eine Pentankette aufschreiben:

C-C-C-C-C (zur Übersichtlichkeit mal ohne Wasserstoffe, da sind natürlich welche)

Nun muss man die Seiten Anhängsel noch dranbekommen. Diese werden vor den Namen der längsten Kette des Moleküls geschrieben und mit "-yl" beendet. Wenn wir also ein C anhängen, dann heißt dies Methyl, da es sich von dem C1 Kohlenwasserstoff Methan ableitet. Bei Ethan hätten wir Ethyl. Und so weiter. Jetzt muss jedoch noch definiert werden, wo dieses Methyl ist, denn es könnte ja am C2, am C3 oder am C4 sein. Dafür schreibt man davor die Zahl des C-Atoms, an dem sich diese Seitenkette befindet:

2-Methylpentan:C-C(Methyl)-C-C-C

Nun kann es aber mehr als ein Methylrest geben, unser Pentan könnte mehrere Seitenketten haben. Wenn es zwei Methylseitenketten besitzt, dann schreibt man Dimethyl (Di für zwei). Davor gibt man nun an, wo sich diese beiden Methylgruppen befinden, also an Position 2 und 4:

2,4-Dimethylpentan:C-C(Methyl)-C-C(Methyl)-C

So das unser Molekül 7 C-Atome besitzt. 5 durch das Pentan und noch mal 2 durch die zwei Methylgruppen, die jeweils ein C-Atom besitzen.

Jetzt kannst du selber herausfinden, wie viele C-Atome 2,6-Dimethyloctan besitzt.

Im Periodensystem steht nicht nur die Ordnungszahl von Chlor, sondern auch die relative Masse von Chlor. Die liegt bei 35,5 u. Die Einheit "u" ist eine Masseneinheit, sie beschreibt halt das Gewicht des Stoffes - 1 u entspricht ungefähr der Masse eines Protons bzw. eines Neutrons.

Atome sind aus Protonen, Elektronen und Neutronen aufgebaut. Zum Gewicht des Atoms tragen aber grob betrachtet nur Protonen und Neutronen bei, denn die Elektronen sind unglaublich viel leichter als Protonen/Neutronen.

Mit dem vorher geschriebenen, dass 1 u ungefähr so schwer ist wie ein Proton/Neutron kann man nun ganz einfach sagen: Die Masse eines Atoms in u ist die Summe von Protonen und Neutronen. Betrachtet man Chlor, so hat dieses 17 Protonen und 28 Neutronen - es ergibt sich ein Wert von 35 u. Nun ist aber in der Formelsammlung ein Wert von 35,5 u angegeben. Warum?

Das liegt daran, dass es Isotope von Elementen gibt. Diese unterscheiden sich in der Anzahl der Neutronen - das Element ist gleich, es hat aber mehr Protonen. So gibt es eben noch ein Chloratom, das 17 Protonen und 30 Neutronen hat. Dieses wäre 37 u schwer. In der Formelsammlung wird jetzt der Durchschnittswert der Masse angegeben, dabei gehen alle Isotope so stark ein, wie häufig sie auch vorkommen.

Im natürlichen kommt das 35 u schwere Chlor zu ca. 75 % vor und das 37 u schwere Chlor zu ca. 25 %. Mit der angegebenen Rechnung wird der Durchschnitt der beiden (mit Bezug auf ihre relative Menge) berechnet, es ergibt sich der Wert von 35,5 u als Durchschnittswert für die Formelsammlung.