Aus rechtlicher Sicht kann ich dir zusichern, dass die - da du die Zustimmung deiner Eltern hast - Übernahme des Gewerbes kein Problem darstellt.
Einen Antrag beim Familiengericht bedarf es nicht.
Sei dir aber dessen bewusst, dass du bzw. ihr eine Menge Verantwortung und im Zweifel für Fehler haftbar gemacht werden könnt.
Kann leider nicht ins Detail gehen, da ich nicht weiß, um welche Art von Gewerbe es geht.