Mit der App funktioniert es! Sprich auf dem Handy. Auf dem Laptop (über die Webseite) funktioniert es nicht.
Ich habe mir vor kurzem einen eigenen voll qualifizierten E-Mail Server eingerichtet für meine Business E-Mails. Hatte bisher keine Probleme damit, außer bei Kleinanzeigen. Ich habe dort alle möglichen Analysetools benutzt und es waren tatsächlich noch ganz kleine nicht empfohlene 'Fehler' enthalten. Die habe ich behoben und der E-Mail Server ist auch als Vertrauenswürdig und alles eingestuft. Aber es kam trotzdem keine Bestätigungs E-Mail von Kleinanzeigen an.
Habe hier dann diesen Tipp gelesen, dass es mit der App funktionieren soll, aber auf der Webseite nicht. Das hat wirklich geklappt. Nun konnte ich mich auch bei Kleinanzeigen registrieren!
Danke an @ Florence524 's Beitrag! Bitte wertet seinen Beitrag hoch, damit auch andere das Problem schnell gelöst bekommen.