Wie kann ich zeigen, dass in jedem angeordneten Körper die Relationen > und >= transitiv und antisymmetrisch sind und dass >= eine totale Ordnung ist?
Ich weis transitiv ist es, wenn a~b und b~c sind und daraus folgt a~c
Ich weis antisymmetrisch ist es, wenn a~b und b~a sind und daraus folgt a=b
Ein angeordneter Körper K hat an sich ja nur die Bedingungen, dass es
-einen Positivbereich P \subsetequal\ K gibt. -einen Negativbereich -P \subsetequal\ K gibt. -dass P \union\ -P\union\ {0} = K ergibt -dass für x,y\el\ P gilt x+y\el\ P und x*y\el\ P
Reicht es zu sagen:
Sei K ein beliebiger Körper Sei P der Positivbereich P\subsetequal\ K Sei x,y\el\ P
Für > :
Transitivität:
Dann gilt: \forall\ x,y,z\el\ P, wenn x>y und y>z, dann gilt x-y\el\ P und y-z\el\ P. =>x-z \el\ P Damit ist ">" in jedem angeordneten Körper transitiv.
Antisymmetrie:
\forall\ x,y\el\ P gilt, wenn x>y und y>x, dann x-y\el\ P und y-x\el\ P => x=y Damit ist ">" in jedem geordneten Körper anti-symmetrisch.
Für ">=" würde ich es dann auf die gleiche Weise versuchen. Bzw kann ich sogar sagen, dass >= wie > transitiv und antisymmetrisch ist und dann nur dazu noch zeigen, dass es eine totale Ordnung ist? Die Bedingungen haben sich von > zu >= ja nicht geändert