Da gibt es mehrere Erklärungen, ich versuche es einfach mal auf folgende Art:
Wir gehen von der Funktion in Form von f(x) = a(x-d)^2 + e aus. Die Werte a, d und e sind unveränderbar. Das heißt, der y-Wert (f(x)) hängt nur von x ab.
Wir wissen, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, wenn a negativ ist, und nach oben geöffnet, wenn a positiv ist. Der Grund dafür ist, dass (x-d)^2 immer insgesamt positiv ist, weil das Quadrat von jeder Zahl positiv ist.
Fall 1: Wenn a negativ ist, dann ist der y-Wert umso kleiner, je größer das Ergebnis von (x-d)^2 ist. Das liegt daran, weil dann a(x-d)^2 insgesamt am Ende negativ ist, und je größer der negative Wert davon ist, umso tiefer landet der y-Wert auf der Funktion.
Fall 2: Wenn a positiv ist, dann ist der y-Wert umso größer, je größer das Ergebnis von (x-d)^2 ist, denn dann ist a(x-d)^2 auch umso größer. Und weil das ja mit dem e addiert wird, steigt der y-Wert.
In Fall 1 gibt es also einen höchsten Punkt. Das ist der Punkt, an dem der Wert von (x-d)^2 am kleinsten ist, weil man dann umso weniger mit a(x-d)^2 subtrahiert. Der kleinste Wert, den (x-d)^2 annehmen kann, ist 0. Jetzt ein kurzes Gleichungssystem:
- 0 = (x-d)^2
- 0 = x-d
- d = x
In Fall 2 gibt es also einen höchsten Punkt. Das ist der Punkt, an dem der Wert von (x-d)^2 am kleinsten ist, weil man dann umso weniger mit a(x-d)^2 addiert. Hier wieder die selbe Grundüberlegung: Wenn (x-d)^2 = 0 ist, haben wir den tiefsten Punkt (Scheitelpunkt an der Stelle), denn dann wird e mit 0 addiert, und noch kleiner kriegen wir den y-Wert nicht
Das hört sich relativ kompliziert an, ist aber von der Überlegung her relativ einfach. Ich hoffe, man kann das ansatzweise verstehen.