Warum entspricht das d in der Scheitelpunktform der x-Koordinate des Scheitelpunktes?

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6 Antworten

Du gehst offenbar von der Scheitelpunktform der Parabelgleichung aus:

f(x) = a(x - d)² + e

Ich habe gerade zwei Ideen im Kopf, das zu erklären.

(1) Der Scheitelpunkt einer Parabel ist ihr einziges Extremum und immer vorhanden.

Das Extremum einer Funktion entspricht der Nullstelle ihrer 1. Ableitung.

Zuerst multiplizieren zuerst wir den Funktionsterm aus (dies ist optional):

f(x) = a(x - d)² + e

      = a(x² - 2dx + d²) + e

      = ax² - 2adx + ad² + e

Nun differenzieren wir:

f'(x) = 2ax - 2ad

Um die Extremstelle zu erhalten, muss f'(x) null gesetzt werden:

0 = 2ax - 2ad      |:2a

0 = x - d              |+d

d = x

q. e. d.

Somit entspricht der Parameter d der x-Koordinate des Extrempunkts, also der des Scheitelpunkts.

Eins möchte ich, trotz dessen, dass es nicht zur Frage passt, gerne betonen:

Der erste Umformungsschritt, bei dem durch 2a dividiert wurde, ist eigentlich nicht zulässig. Denn bei Äquivalenzumformungen darf nicht durch Variablen oder Parameter dividiert werden, da nicht auszuschließen ist, dass dabei eine Division durch Null und somit ein mathematischer Fehler entsteht.

Dies war nur in Ordnung, da a immer ungleich 0 ist - ansonsten wäre die Funktion linear.

Prinzipiell darf aber nie durch Variablen oder Parameter dividiert werden!

(2) Eine andere Art, dies zu zeigen, ist folgende:

Der Parameter d verschiebt die Parabel auf der x-Achse, der Parameter e auf der y-Achse und der Parameter a staucht oder streckt sie.

Dadurch, dass d der horizontale Verschiebungsparameter der Parabel ist, muss gelten, dass d dem x-Wert des Scheitelpunkts entspricht.

Dies ist aber nur eine anschauliche Erklärweise und keineswegs ein Beweis!

Die erste Erklärung ist hingegen ein Beweis dafür. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

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Kommentar von WarumGeld
08.08.2016, 16:58

Danke, super Antwort !

1

Scheitelpunktform -->

y = a * (x - d) ^ 2 + e

-------------------------------------------------------------------------------------

y = a * (x ^ 2 - 2 * d * x + d ^ 2) + e

y = a * x ^ 2 - 2 * a * d * x + a * d ^ 2 + e

Der Scheitelpunkt einer Quadratischen Funktion ist gleichzeitig auch ihr Extremwertpunkt.

Extremwertstellen berechnet man über die 1-te Ableitung, ein Extremwertstelle liegt dort wo die 1-te Ableitung ihre Nullstelle hat.

y´(x) = 2 * a * x - 2 * a * d

2 * a * x - 2 * a * d = 0 | : 2 * a

x - d = 0

x = d

Das ist die Begründung !!

Das kann man jetzt noch in die Scheitelpunktform einsetzen -->

y = a * (d - d) ^ 2 + e

y = e

Deshalb liegt der Scheitelpunkt bei (d | e)

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Kommentar von WarumGeld
07.08.2016, 14:44

Super, danke für die verständliche Antwort :)

1

Hallo,

das liegt daran, auf welche Weise die Scheitelpunktform zustande kommt.

Wenn Du eine Funktion der Form f(x)=x²+px+q hast, wandelst Du sie in die Scheitelpunktform um, indem Du die ersten beiden Summanden mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung in ein Binom umwandelst. Du halbierst den Faktor vor dem x und quadrierst ihn anschließend. So wird aus p p²/4 und aus x²+px wird x²+px+p²/4, was nach der ersten binomischen Formel (x+p/2)² ist. Natürlich mußt Du p²/4 auch wieder abziehen, um die Funktion im Ganzen nicht zu verändern.

So bekommst Du f(x)=(x+p/2)²-p²/4+q.

Bei einer Parabel liegt der Scheitelpunkt wegen der Symmetrie immer genau zwischen den beiden Nullstellen.

Suchst Du die Nullstellen von f(x)=(x+p/2)²-p²/4+q, kommst Du auf die bekannte pq-Formel:

(x+p/2)²-p²/4+q=0

(x+p/2)²=p²/4-q

x+p/2=±√(p²/4-q)

x=-p/2±√(p²/4-q).

Der Punkt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen muß nun natürlich -p/2 sein, weil zu -p/2 einmal die Wurzel addiert wird und einmal subtrahiert, um auf die Nullstellen zu kommen.

Wenn Du p/2 nun d nennst und den Term p²/4+q e, hast Du die Scheitelpunktform f(x)=(x+d)²-e.
Der Scheitelpunkt liegt dann bei x=-d=-p/2
und seine y-Koordinate ist -p²/4+q, nämlich f(-p/2).

Du kannst auch die erste Ableitung der Funktion auf Null setzen, um die x-Koordinate des Scheitelpunktes zu ermitteln:

f(x)=(x+p/2)²-p²/4+q

f'(x)=2(x+p/2)

2(x+p/2)=0

x+p/2=0

x=-p/2=-d

Herzliche Grüße,

Willy

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Wenn bei der quadratischen Parabel x - d = 0 ist, dann ist x = d, und damit hat man auf der x-Achse den Abstand des Scheitelpunkts  zum Ursprung (0|0).

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Der Parameter d verschiebt die Parabel auf der x-Achse, der Parameter e auf der y-Achse

Das hier ist das wichtige, denn es gilt für ALLE Funktionen.

Ändert man z.B. die Funktion 1/3 * x^3 + 1/4 * x^2 - x indem man jedes x durch (x-1) ersetzt, dann verschiebt man den Graphen der ersten Funktion um eins nach rechts.

Setzt man für x stattdessen (x+1) ein, verschiebt man die Funktion um eins nach links.

Addiert man zur Funktion eine Eins, dann verschiebt man die Funktion um Eins nach oben. Subtrahiert man eine Eins, verschiebt man sie um Eins nach unten.

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Da gibt es mehrere Erklärungen, ich versuche es einfach mal auf folgende Art:

Wir gehen von der Funktion in Form von f(x) = a(x-d)^2 + e aus. Die Werte a, d und e sind unveränderbar. Das heißt, der y-Wert (f(x)) hängt nur von x ab. 

Wir wissen, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, wenn a negativ ist, und nach oben geöffnet, wenn a positiv ist. Der Grund dafür ist, dass (x-d)^2 immer insgesamt positiv ist, weil das Quadrat von jeder Zahl positiv ist.

Fall 1: Wenn a negativ ist, dann ist der y-Wert umso kleiner, je größer das Ergebnis von (x-d)^2 ist. Das liegt daran, weil dann a(x-d)^2 insgesamt am Ende negativ ist, und je größer der negative Wert davon ist, umso tiefer landet der y-Wert auf der Funktion.

Fall 2: Wenn a positiv ist, dann ist der y-Wert umso größer, je größer das Ergebnis von (x-d)^2 ist, denn dann ist a(x-d)^2 auch umso größer. Und weil das ja mit dem e addiert wird, steigt der y-Wert.

In Fall 1 gibt es also einen höchsten Punkt. Das ist der Punkt, an dem der Wert von (x-d)^2 am kleinsten ist, weil man dann umso weniger mit a(x-d)^2 subtrahiert. Der kleinste Wert, den (x-d)^2 annehmen kann, ist 0. Jetzt ein kurzes Gleichungssystem:

  • 0 = (x-d)^2
  • 0 = x-d
  • d = x

In Fall 2 gibt es also einen höchsten Punkt. Das ist der Punkt, an dem der Wert von (x-d)^2 am kleinsten ist, weil man dann umso weniger mit a(x-d)^2 addiert. Hier wieder die selbe Grundüberlegung: Wenn (x-d)^2 = 0 ist, haben wir den tiefsten Punkt (Scheitelpunkt an der Stelle), denn dann wird e mit 0 addiert, und noch kleiner kriegen wir den y-Wert nicht

Das hört sich relativ kompliziert an, ist aber von der Überlegung her relativ einfach. Ich hoffe, man kann das ansatzweise verstehen.

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