Hallo!
Das ist alles kein Problem. Dein Vermieter will wahrscheinlich einen Nachweis dass du die Miete zahlen kannst. Ihm kannst du deinen Ausbildungsvertrag zeigen. Dadurch kann sich der Mieter sicher sein, dass du Geld hast und somit die Miete zahlen kannst.
Dass du einen Monat "arbeitslos" in der Wohnung lebst ist überhaupt kein Problem.
Zu der Wohnung: Solltest du alleine wohnen wollen halte Ausschau nach einer kleinen 1-Zimmer-Wohnung. Weiterhin günstig kannst du in einer WG wohnen. Und am besten in ein Außenbezirk von Berlin ziehen, da die Mieten dort noch ein Stück günstiger sind.
Viel Spaß in der Ausbildung!