Ich würde dem Vermieter die Situation darlegen, also einfach Arbeitsvertrag, evtl. erster Gehaltsnachweis, falls schon vorhanden, und mit offenen Karten spielen. Kommt auf den Vermieter drauf an, aber das sollte durchaus im Bereich des Möglichen sein.

Ich persönlich hatte auch mal, nachdem ich gerade angefangen hatte selbstständig zu sein, nach ner Wohnung gesucht. Da wird normalerweise sogar nach dem letzten Jahresdurchschnitts-Einkommen gefragt, bzw. fühlen sich Vermieter bei Selbständigen oft generell etwas verunsichert. Ich hatte aber Glück - hatte meiner Vermieterin gesagt, ich sei selbständig, und hab nur wenige Monate Einkommen. Gewerbeschein und Kontostand hat ihr dann gereicht.
Kommt halt echt auf die Person drauf an. Vermieter sind auch nur Menschen, das mit den 3 Monaten ist ja nicht in Stein gemeisselt.