Um diese Frage zu verstehen, muss man erstmal verstehen, was eine "unendliche Summe" überhaupt ist, und wann man sagt, dass sie "divergiert" und wann man sagt, dass sie "gegen x konvergiert". Eine unendliche Summe macht nämlich an sich keinen Sinn.
Was man eigentlich meint, mit
"x = unendliche Summe"
ist folgendes:
Wenn unsere unendliche Summe
a_1 + a_2 + a_3 + ...
ist, dann bezeichne ich mit S_1, S_2, S_3, ... die endlichen Zwischensummen
S_1 = a_1
S_2 = a_1 + a_2
S_3 = a_1 + a_2 + a_3
...
Die sind sinnvoll als Summen definiert.
"x = a_1 + a_2 + ..."
bedeutet, dass die Zahlen S_1, S_2, S_3 beliebig nah an x rankommen, also dass der Abstand zwischen x und S_n beliebig klein wird:
Abstand(x, S_n) wird beliebig klein.
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Nun kommt der Trick: es gibt mehrere Arten diesen "Abstand" von ganzen Zahlen zu definieren. Der ganz normale Abstand, den man in der Schule lernt ist der Betrag der Differenz:
Abstand(a, b) = |a - b|.
Das ist der Abstand, der mit den reellen Zahlen assoziiert wird: auf den reellen Zahlen gibt es nämlich nur eine sinnvolle Definition von Abstand, nämlich den da oben.
Bezüglich dieses Abstands kommt 1+2+4+8+... natürlich nicht immer näher an -1 ran. Das ist der Grund, warum in deinem Artikel steht
"As a series of real numbers it diverges to infinity, so in the usual sense it has no sum."
und warum die meisten sagen würden, dass diese Folge nicht gegen -1 konvergiert: wenn man diese Zahlen als reelle Zahlen betrachtet und entsprechend den reellen Abstand nimmt, dann divergiert die Folge.
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Wenn man allerdings nicht die reellen Zahlen nimmt, sondern nur die ganzen Zahlen, dann gibt noch andere Abstände auf den ganzen Zahlen, die sinnvoll sind, nämlich die sogenannnten p-adischen Abstände (wobei p eine Primzahl ist). In unserem Fall ist der 2-adische Abstand der relevante:
2-adischer-Abstand(a,b) = 0.5^(wie oft ist a-b durch 2 teilbar).
Zum Beispiel ist
2-adischer-Abstand(9,1) = 0.125, denn 9-1=8 ist 3 mal durch 2 teilbar, und 0.5^3 = 0.125.
Wenn du dich fragst, warum Mathematiler solche merkwürdigen Abstände betrachten:
1) weil das sehr nützlich für die Zahlentheorie ist und Zahlentheorie ist sehr nützlich für Verschlüsselung von Daten
2) weil das die einzigen anderen "sinnvollen" Abstands-definitionen auf den ganzen Zahlen, außer dem reellen Abstand, sind. also wollen wir der Vollständigkeit halber alle sinnvollen Abstände gut verstehen.
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Was passiert nun mit deiner unendlichen Summe und -1 unter dem 2-adischen Abstand? Naja,
1 + 2 + 4 + ... + 2^n - (-1) = 2 + 2 + 4 + ... + 2^n
= 4 + 4 + ... + 2^n = 2^n + 2^n = 2^(n+1).
Das ist genau n+1 mal durch 2 teilbar. Das heißt der
2-adische-Abstand(-1, 1 + 2 + ... + 2^n) = 0.5^(n+1).
Der wird beliebig klein, je größer n wird. In dem Sinne konvergiert die unendliche Summe
1 + 2 + ... + 2^n gegen -1
mit dem 2-adischen Betrag. Deswegen steht in deinem Artikel
"In a much broader sense, the series is associated with another value besides ∞, namely −1, which is the limit of the series using the 2-adic metric."
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Es wurde hier ja schon in einer anderen Antwort erklärt, warum, wenn q kleiner als 1 ist, dann
1 + q + q² + ... = 1/(1-q) gilt.
Bezüglich des normalen Abstands ist 2 aber nicht kleiner als 1.
Bezüglich des 2-adischen Abstands ist 2 kleiner als 1, denn
2-adischer-Abstand(2, 0) = 0.5
2-adischer-Abstand(1,0) = 0.5^0 = 1,
also ist 2 näher an der 0 als 1, also "kleiner" als 1. Deswegen funktionert die geometrische Summenformel mit 2 im 2-adischen.
