Würfel Radius und Oberfläche?
Ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz:
Ein Würfel aus Knetgummi mit der Kantenlänge a=10 cm soll zu einer Kugel geformt werden. a) Welchen Radius hat die Kugel? b) Vergleiche die Kugel- mit der Würfeloberfläche. Wie verändert sich r?
Ich danke für die Hilfe.
4 Antworten
Würfel: V = a³
Mit a = 10cm ergibt sich V = (10cm)³ = 1000 cm³
Die Kugel hat das gleiche Volumen.
Kugel: V = 4/3 pi r³
1000 cm³ = 4/3 pi r³ .... | * 3/4
750 cm³ = pi r³ .... | : pi
750 / pi cm³ = r³ ... | dritte Wurzel
r = 6,2 cm
Oberflächen berechnen:
Würfel: O = 6 a² = 6 * (10 cm)² = 600 cm²
Kugel: O = 4 pi r² = 4 pi (6,2 cm)² = 483 cm²
Vergleich: (600 cm² - 483 cm²) / (600 cm²) = 19,5 %
Die Oberfläche der Kugel ist also um 19,5 % kleiner als die Oberfläche des Würfels.
.................
~ 64 ~
Also erst mal zum Volumen:
Das Volumen V_w ist a³.
Das Volumen einer Kugel ist 4/3 * PI * R³
Da beide Volumina gleich sein sollen, hast du a³ = 4/3*PI*R³
Jetzt stellst du nur noch die Gleichung nach R³ um und hast zunächst 3a³/(4PI) = R³
Jetzt nur noch auf beiden Seiten die 3. Wurzel ziehen und du erhältst R = a*3.Wurzel(0,75/PI).
Daraus folgt, dass du bei deinen Angaben für R 6,2cm herausbekommst.
Jetzt irritiert mich bei der Oberfläche nur das Wort "vergleiche" ein wenig.
Ich gehe jetzt einfach mal davon aus, dass beide Oberflächen gleich sind, also O_k = O_w (Sieht aus, als hätte man jemandem nen Auge ausgestochen, ich weiß!^^)
O_k = 4PI*R²
O_w = 6a²
Also ist die Gleichung 4PI*R² = 6a²
Dann stellst du alles nach R² um und erhältst R² = 3a²(2PI)
Jetzt noch auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und du bekommst R = a*Wurzel(1,5/PI)
Jetzt schaust du dir beide Radien an.
Der Radius des Volumens (R_v) ist ja a*3.Wurzel(0,75/PI).
Der Radius der Oberfläche (R_o) ist ja a*Wurzel(1,5/PI).
Nun setz du einfach beide Werte ins Verhältnis. Dabei kannst du richtig schön sehen, dass sich die a herauskürzen, woran du erkennst, dass es nicht mehr von der Kantenlänge deines Würfels abhängig ist, um welchen Faktor dein Radius anders ist als dein a. Genial, oder? :)
Jetzt guckst du dir die beiden Konstanten an.
Wurzel(1,5/PI) = 0,690988... also ungefähr 0,691
3.Wurzel(0,75/PI) = 0,62035... also ungefähr 0,62035
Somit siehst du, dass der R_o > R_v ist, und zwar IMMER! (Vorrausgesetzt natürlich, du gehst von der selben Kantenlänge a deines Würfels aus.)
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR
Du gugst in dein schlaues Buch!
Suchst dir die Formeln für
-Volumen würfel
-Oberfläche Würfel
-Volumen Kugel
-Oberfläche Kugel
Dann rechnest du das Volumen und die Oberfläche des Würfels.
Das Volumen des Würfels ist gleich dem Volumen der Kugel.
Du nimmst also das Volumen des Würfels und gibst es in die Formel für Volumen der Kugel ein und löst nach Radius auf.
Mit dem so ermitteltem Radius kannst du mit der Formel für Oberfläche Volumen die Oberfläche der Kugel ermittel.
LG
PS:Die Oberfläche der Kugel ist kleiner;)
Du sollst ausrechnen, wie groß eine Kugel sein kann mit dem Selben Volumen