Hallo,

du musst die Formeln für den Kreisumfang U und Flächeninhalt A anwenden:

U = 2 • π • r

A = π • r²

Du sollst zunächst mit einem Näherungswert π ≈ 3 rechnen (im Kopf)

8a) Es gilt U = 60 cm , d.h. U = 2πr = 60 cm

Für π die Zahl 3 einsetzen und die Gleichung nach r auflösen:

U = 2•3•r = 60 cm , also 6•r = 60 cm , also gilt näherungsweise

r = 60 cm/6 = 10 cm

Damit kann man jetzt den Flächeninhalt (näherungsweise) berechnen:

A = 3•(10cm)² = 3•10² cm² = 3•100 cm² = 300 cm²

Der Kreis hat näherungsweise einen Flächeinhalt von 300 cm² .

8b) Das ist quasi der gleiche Typ von Aufgabe, nur anders herum: man soll von der Kreisfläche auf den Kreisumfang kommen. Es gilt

A = 30.000 m² = π • r² , also gilt r² =

30.000 m² / π = 30.000 m² / 3 = 10.000 m²

Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen:

r = √(10.000 m²) = 100 m

Der Kreis hat (näherungsweise) einen Radius von 100 m .

Sein Umfang U beträgt näherungsweise

U = 2 • π • 100 m = 2 • 3 • 100 m = 600 m .

Der Kreis hat (näherungsweise) einen Umfang von 600 m .

8c) Hier sollst du die gleichen Rechnungen machen wie in 8a und 8b, aber mit dem Taschenrechner und mit dem Wert π , mit dem der Taschenrechner rechnet.. Der Taschenrechner rechnet nicht mit π = 3 , sondern mit einem viel genaueren Wert : π = 3,141592654 .

Die Ergebnisse, die du nun für die Kreisfläche in 8a und den Kreisumfang in 8b erhalten wirst, wird von den vorigen Ergebnissen abweichen. Du sollst angeben, um wieviel Prozent die genaueren Wert von den Näherungswerten abweichen.

Nur mal als Beispiel angenommen, der genauere Wert des
Flâcheninhalts des Kreises in 8a sei 280 cm² , der genäherte Wert ist 300 cm².

Um wieviel Prozent ist der genäherte Wert von 280 cm² abgewichen?

(Der genauere Wert des Flächeninhalts ist nicht 280 cm², den genauen Wert sollst du ausrechnen. Das Beispiel mit dem falschen Wert ist nur zur Verdeutlichung, was du tun sollst)

Gleiche Frage und Rechnung für 8b).

Ich bewundere und verehre Alexander Grothendieck für seine unglaubliche Schaffenskraft in der Mathematik, seine politischen Überzeugungen (Antikriegshaltung, Umwelt) und sein literarisches Talent (Récoltes et Semailles - Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien [Gedanken und Zeugnis über die Vergangenheit eines Mathematikers ~ 1500 Seiten in einer wunderbaren poetischen Sprache]).

Wer die französische Sprache lesen kann, hier kann man das Werk downloaden:

https://agrothendieck.github.io/divers/ReS.pdf

Hallo,

a)

¬ (∀x ∈ N : x = 0 ∨ x = 1 ∨ 1/x ≠ x) <=>

∃x ∈ N : ¬ (x = 0 ∨ x = 1 ∨ 1/x ≠ x) <=>

∃x ∈ N : x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ∧ 1/x = x

b)

¬ (∃y : ∀x : R(x,y) ⇒ (P(x) ∧ Q(y))) <=>

∀y : ∃x : ¬ (R(x,y) ⇒ (P(x) ∧ Q(y))) <=>

∀y : ∃x : R(x,y) ∧ ¬ (P(x) ∧ Q(y)) <=>

∀y : ∃x : R(x,y) ∧ (¬P(x) ∨ ¬Q(y))

Die letzte Zeile ist das Ergebnis und die Zeile(n) zwischen ihr und der ersten Zeile sind die Zwischenschritte.

Siehe: Umformungsregeln zum Negieren

Gruß

Hallo,

3) ℤ ist die Menge der ganzen Zahlen. ℤ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

Die drei Pünktchen bedeuten soviel wie "usw.".

a) A ist die Menge aller ganzen Zahlen, die kleiner als -7 sind, und so sieht die aufzählende Schreibweise aus:

A = {-8, -9, -10, -11...}

f) F ist die Menge aller ganzen Zahlen, die kleiner als Null und
größer oder gleich -5 sind, d.h.

F = {-5, -4, -3, -2, -1}

Versuche nun den Rest von 3) selber zu lösen.

5) 2 ist eine ganze Zahl, also kann man schreiben: 2 ∈ ℤ

-3 ist eine ganze Zahl, also kann man schreiben: -3 ∈ ℤ

0,5 ist keine ganze Zahl, also gilt: 0,5 ∉ ℤ

3/4 ist keine ganze Zahl, also gilt: 3/4 ∉ ℤ

(Das letzte Beispiel habe ich mir ausgedacht, es steht nicht in der Aufgabe)

∈ bedeutet "ist ein Element von"

∉ bedeutet "ist kein Element von"

Hilft dir das weiter?

Gruß

Hallo,

man ist von der DGL y'' + ω₀ • y = 0 (*) ausgegangen, was eine lineare homogene DGL 2. Ordnung ist. Die Lösungsfunktionen einer homogenen linearen DGL bilden einen Vektorraum. Das bedeutet, dass die Summe zweier Lösungsfunktionen und (Skalar • Lösungsfkt) auch Lösung der DGL sind. (Eine beliebige Linearkombination von Lösungsfunktionen ist Lösung der DGL).

Beispiel"rechnung" an der DLG (*) :

Seien y₁ und y₂ Lösung der DGL (*), d.h. es gelten die Gleichungen

(1) y₁'' + ω₀ • y₁ = 0

(2) y₂'' + ω₀ • y₂ = 0

Daraus folgt

(y₁ + y₂)'' + ω₀ • (y₁ + y₂)= y₁'' + y₂'' + ω₀ • y₁ + ω₀ • y₂ =

(y₁'' + ω₀ • y₁) + (y₂'' + ω₀ • y₂) = 0 + 0 = 0

also erfüllt die Summefunktion y₁ + y₂ die DGL (*).

Gruß

Hallo,

hier mal zwei Screenshots von LibreOffice Writer mit dem Formeleditor math :

Formeleditor aufrufen: insert -> Object -> Formula

und so sieht es aus:

Gruß

Onkel von mir ist in Rente und er sagt manchmal, er hasst es einfach:

Das tut mir leid für deinen Onkel. Ich wünsche ihm, dass er zu einem besseren Lebensgefühl findet.

Ich liebe es, meine Zeit selbstbestimmt verbringen zu können!

Wenn es eine Möglichkeit gegeben hâtte, wäre ich schon mit 40 in Rente gegangen. Solange ich denken kann habe ich es gemocht, Zeit für mich zu haben.

Wie verbringt eure Leben nach der Rente weiter?

Ausschlafen, spazieren gehen, joggen, im Park Yoga machen, ein bisschen Krafttraining (mit anderen Worten: meine alten Knochen so gut wie möglich in Schuss halten), mit dem Fahrrad durch Pariser Vorstädte cruisen, in Paris Museen besuchen oder einfach durch die Stadt schlendern, Fotos machen und bearbeiten, Freunde besuchen (auch gerade die, die weiter weg wohnen), meine Familie in Deutschland besuchen, japanische Anime schauen (ausgiebig), Romane lesen, kochen u. essen, in Belleville (Stadtviertel von Paris) in einem der asiatischen Restaurants essen gehen, dem Müßiggang frönen, Städte in Frankreich besuchen die ich noch nicht kenne, mit Linux oder LineageOS rumbasteln, mich in Bibliotheken aufhalten, mich mit Mathematik beschäftigen, auf GF antworten und stöbern.

Die mir verbleibende Zeit möchte ich so lange und so gut wie möglich nutzen und genießen.

Hallo,

Für welche N ∈ |N gilt das erste Mal |aN − 1/3| < 0,01?

Da habe ich N = 19 raus

N = 19 ist richtig.

Gilt für alle n ≥ N die Ungleichung |a_n − 1/3 | < 0, 01?

Ich habe mir jetzt einfach intuitiv gedacht, dass die Aussage korrekt ist. Aber wie würde man das beweisen?

Indem man die Ungleichung | a_n − 1/3 | < 0, 01 löst.

Zunächst gilt: die Folge a(n) ist auf ℕ streng monoton fallend.

Das kann man entweder per vollständiger Induktion zeigen, oder, falls man die Mittel der Differentialrechnung benutzen darf, zeigt man es, indem man die Funktion

f(x) = (x+4)/(3x+10) ableitet. Man erhält

f'(x) = -2/(3x+10)² < 0 für alle reellen x ≠ -10/3 .

D.h. f ist auf ℝ\{-10/3} streng monoton fallend und es gilt a(n) = f(n) . Das ist die leichteste Art, die Monotonie der Folge zu zeigen.

Weiter gilt a(1) = 5/13 > 5/15 = 1/3 , d.h. es gilt a(n) > 1/3 für alle n ∈ ℕ, und

|a(n) - 1/3| = a(n) - 1/3

(d.h. die Folge nähert sich 1/3 von oben und man kann die Betragsstriche weglassen).

Nun löst man die Ungleichung

|a(n) - 1/3| = a(n) - 1/3 < 1/100

durch Äquivalenzumformungen und findet

n > 170/9 ≈ 18,88 , d.h. ab n = 19 gilt die Ungleichung. Damit ist N = 19 bewiesen.

Möchte man ein allgemeines, von ε abhängiges N ausrechnen, löst man die Ungleichung

a(n) - 1/3 < ε

und findet n > (2 - 30ε)/(9ε) =: N(ε)

Setzt man zur Probe ε = 1/100 ein, findet man wieder N(ε) = 170/9 .

Gruß

Hallo,

die Aufgabe ist wahrscheinlich dazu gedacht, sich die einzelnen Transformationen vorzustellen, um von h(x) auf f(x) zu kommen.

Den Graph von h kannst du skizzieren (Exponentialfunktion, die habt ihr wahrscheinlich im Unterricht kennengelernt).

Übergang von h(x) zu -h(x) : Spiegelung von Graph(h) an der x-Achse

Übergang von -h(x) zu -h(x) + 1 : Verschiebung des vorigen Graphen um eine Einheit nach oben.

Übergang von 1-h(x) auf 3•(1-h(x)) : Streckung um den Faktor 3, d.h. die y-Koordinate jedes Punktes des vorigen Graphen wird mit 3 multipliziert.

So kannst du dich durch die einzelnen Transformationen von Graph(h) zu Graph(f) hangeln.

Gruß

Hallo,

zunächst ein Hinweis auf zwei Fehler.

1) Es ist richtig, dass die Richtungsvektoren beider Geraden kollinear sind, aber es gilt

(2|1|-1) = (-1/3)•(-6|-3|3)

Der Faktor ist -1/3 und nicht 2 wie auf deinem Blatt oben geschrieben steht.

Daraus folgt, dass beide Geraden entweder identisch oder echt parallel sind.

2) Unten setzt du beide Parameterdarstellungen gleich. Das macht man, um einen eventuellen Schnittpunkt zu berechnen. Bei der Methode muss man aber darauf achten, dass man verschiedene Parameter benutzt (du hast nur t genommen).

Den Fehler kann ich gut nachvollziehen, denn in der Aufgabenstellung ist eine "Falle" in dem Sinn, dass bei beiden Geraden g und h in der Parameterdarstellung der Parameter mit t bezeichnet ist.

Beispiel: Gegeben seien zwei Geraden g und h durch

g : x = P + t•a

h : x = Q + s•b

wobei a und b die Richtungsvektoren und P und Q die Aufpunkte der Geraden g und h seien.

Um einen eventuellen Schnittpunkt zu suchen, musst die Gleichung lauten:

(i) P + t•a = Q + s•b

d.h. für die Gerade g nimmt man den Parameter t und für die Gerade h einen anderen Parameter, z.B. s. Die Vektorgleichung (i) lässt sich dann durch ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen (falls ℝ³) und den zwei Unbekannten s und t ausdrücken.

Nimmt man nur einen Parameter, führt die Gleichung nicht zum Ziel, der Berechnung eines Schnittpunktes.

Einfaches Zahlenbeispiel (im ℝ²)

g : x = (0|3) + s•(1|2)

h : x = (1|1) + t•(1|-2)

Man sieht, dass die Richtungsvektoren von g und h nicht kollinear sind, also müssen sich die Geraden (im ℝ²) schneiden. Die Lösung des LGS ist s=0, t=-1 , der Schnittpunkt hat die Koordinaten (0|3).

Stellt man aber das LGS mit nur einem Parameter auf:

(0|3) + s•(1|2) = (1|1) + s•(1|-2)

führt das zu einem Widerspruch.

Also: für jede Gerade einen Parameter.

------------

In deiner Aufgabe kann man aber eine einfachere Gleichung aufstellen.

Wir wissen schon, dass die beiden Geraden entweder echt parallel oder identisch sein müssen. Wenn sie identisch sind, muss man den Aufpunkt der einen Geraden mit der Parameterdarstellung der anderen ausdrücken können.

Es genügt also folgende Gleichung:

(7|1|2) = (5|0|1) + t•(2|1|-1)

d.h. "Aufpunkt von h = Aufpunkt von g + t • Richtungsvektor von g"

Ist diese Gleichung für ein t (oder für alle t) wahr, sind g und h identisch.

Führt diese Gleichung zu einem Widerspruch, sind die Geraden echt parallel.

Gruß

Hallo,

das geht mit einem Befehl in der Kommandozeile.

Zuerst die Grundfunktion eingeben (hier eine nach unten geöffnete Parabel).
Ich habe f(x) = -0.1x² + 5 genommen, damit meine Kurve wie deine aussieht:

Dann in der Kommandozeile den Befehl

funktion[Name der Funktion, x-Anfangewert, x-Endwert] eingeben und auf <return> drücken:

Geogebra legt eine "neue" Funktion g an, die nur von -√50 bis √50 definiert ist.

Zum Schluss den Graph der Funktion f ausblenden:

Du musst dir allerdings den Definitionsbereich selbst überlegen (berechnen), so dass der Wertebereich zwischen 0 und 5 liegt.

Gruß

Hallo,

wie kommt man auf so eine Vorzeichentabelle?

Da müsste man den Aufgabentext kennen, um auf die Frage zu antworten.

Anscheinend gibt es eine Funktion f, die lautet:

f(x) = (x² - 2.25)•(x+1)•(x+4)

und man möchte das Vorzeichen von f(x) in Abhângigkeit von x bestimmen.

Auf was muss ich achten?

Man schreibt den Funktionsterm als ein Produkt von Linearfaktoren und bestimmt das Vorzeichen jedes Linearfaktors in Abhängigkeit von x, so wie in der Tabelle gemacht.

Beispiel:

Der Linearfaktor (x+1) ist positiv für x > -1 , Null für x = -1

und negativ für x < -1 .

Diese Tatsache ist in der 2. Zeile der Tabelle wiedergegeben.

Der Linearfaktor (x+4) ist positiv für x > - 4 , Null für x = -4
und negativ für x < - 4.

Diese Tatsache ist in der 3. Zeile der Tabelle wiedergegeben.

Der Term (x² - 2.25) ist kein Linearfaktor, aber man kann ihn unter Anwendung der 3. binomischen Formel in ein Produkt zweier Linearfaktoren schreiben:

x² - 2.25 = x² - (1.5)² = (x+1.5)•(x-1.5)

Dieser Schritt wurde in der Vorzeichentabelle nur "im Kopf" gemacht, aber nicht hingeschrieben. Wahrscheinlich ist die Tabelle für dich deshalb nicht verständlich.

Ersetze die 4. Zeile der Vorzeichentabelle also durch zwei Zeilen :
eine Zeile für das Vorzeichen von (x+1.5),
und eine Zeile für das Vorzeichen von (x-1.5).

Das Produkt der beiden Zeilen ergibt dann das Vorzeichen des Terms x² - 2.25 ,
das in der 4. Zeile erfasst ist.

In die letzten Zeile trägt man dann das Vorzeichen von f(x) ein, indem man in jeder Spalte berücksichtigt, dass minus • minus = plus gilt (d.h. das Produkt zweier negativer Zahlen ist eine positive Zahl).

Gruß

Hallo,

zunächst eine Skizze:

Die Zahlen unten habe ich mir durch Messen mit einem Zollstock überlegt: mein Daumen ist ungefähr 2cm breit, und die Strecke von meiner Schulter bis zum Daumen meines ausgestreckten Armes beträgt ungefähr 60cm.

Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu (die 0,02m müssten viel näher an P liegen), aber das ist egal, Hauptsache man stellt die richtige Gleichung auf.

Weiter wird vorausgesetzt, dass die 2cm-Strecke (Daumen) und die 350 Meter Strecke (Containerschiff) parallel sind, denn dann kann man den Strahlensatz anwenden.

Nun kann man folgende Gleichung aufstellen



und nach x auflösen. Mit diesen Zahlen finde ich x ≈ 10,5 km .

Das kannst du ja mal mit den Zahlen deines Armes und deines Daumens vergleichen.

Gruß

Hallo,

wie geht man an die Aufgabe ran?

Zu 1) Man bestimmt alle (c,d) ∈ ℕ² mit (1,4) ~ (c,d) , und das bedeutet laut Definition 1•d = 4•c <=> d = 4c

Also besteht die Klasse [(1,4)] aus den Tupeln (c,4c) , d.h.

[(1,4)] = { (c,4c) | c ∈ ℕ }

Bemerkung

Eine weitere Sichtweise auf die Äquivalenz ist folgende:

(a,b) ~ (c,d) <=> ad = bc <=> a/b = c/d

d.h. die zwei Tupel sind äquivalent, wenn sie den gleichen Bruch darstellen.

Das bedeutet

[(1,4)] "=" {alle Brüche c/d mit c,d ∈ ℕ, die gekürzt 1/4 ergeben}

Das Gleichheitszeichen in Anführungszeichen, weil die Klasse nicht aus Brüchen, sondern aus Tupeln natürlicher Zahlen besteht. Aber man kann die Tupel als Brüche ansehen.

Gruß

Hallo,

nur kurz zur a), die stimmt nicht, denn wenn man das Ergebnis nach dem Gleichheitszeichen wieder ausmultipliziert, erhält man



und das ist nicht der Ausgangsterm. Richtig wäre



Für die b) hast du einen Erklärung von Mathetrainer.

Bei der c) mancht man einen Trick, um die 3. binomische Formel anwenden zu können:





Gruß

Hallo,

das (-ez) in der oberen Zeile rechts ist ein Tipp- oder Flüchtigkeitsfehler.
Man hat nur die Konstanten q, v₀ und B₀ ausgeklammert.
Der Vektor ez bleibt ez.

Es gilt







Desweitern ist mir die Lösung mit (-ex-ey) nicht ganz klar, ich hätte (-ey-ex) raus

ex und ey sind Vektoren und die Vektoraddition ist kommutativ, d.h.
für alle Vektoren X,Y gilt X+Y = Y+X . Es gilt also -ey - ex = -ex - ey .

Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ (es ist antikommutativ).

Gruß

Hallo,

so ein Vorkurs ist als Angebot zu verstehen, und die Aufforderung sich aktiv zu beteiligen ist nur eine Ermutigung. Es gibt da keine Noten und man kann auch nicht "durchfallen".

Die Leute wissen aus Erfahrung, dass manche (oder viele) Vorkursteilnehmer durch den Wechsel von Schule auf Hochschule verunsichert sind, und es gibt auch Introvertierte, die sich in Gruppen unwohl fühlen, also genau das, was du schreibst.

Es ist für einen selbst halt vorteilhaft, wenn man Fragen stellt, weil sie beantwortet werden. Deshalb wäre es schade, wenn man das Angebot nicht nutzt. Die aktive Beteiligung ist keine Pflicht.

Gruß

1) Zivildienst beim DRK, als Krankentransport- und Rettungswagenfahrer.

2) Das hat mir sehr gefallen. Ich hatte nach dem Abi die Nase von der Schule ziemlich voll und dieser 'konkrete' Dienst (im Gegensatz zu stundenlangem Frontalunterricht) hat mir gutgetan. Für mich hat das genau gepasst.

Dazu kam, dass ich als Ausgleich fehlender Unterbringung und Verpflegung monatlich Geld bekam, so dass ich mir mir eine billige kleine Wohnung mieten und von zu Hause ausziehen konnte. Wegen der Nachtschichten und den 24-Stunden Diensten hatten wir freie Tage, ohne dafür Urlaub nehmen zu müssen. Manchmal hatte ich 3 bis 4 Tage am Stück frei und fand das natürlich gut.

3) Abi-Schnitt 3,3

Nach dem Zivildienst konnte ich mich dann auf mein Studium, auf Lernen und Theorie freuen.

Hallo,

man soll anhand von einem Zahlenbeispiel zeigen, dass die Gleichungen falsch sind.

Beispiel:

wähle z.B. α = π/2 und β = π/2 . Dann gilt

sin(α+β) = sin(π/2 + π/2) = sin(π) = 0 , aber

sin(α) + sin(β) = sin(π/2) + sin(π/2) = 1 + 1 = 2 ,

also gilt sin(π/2 + π/2) ≠ sin(π/2) + sin(π/2),

d.h. dass Gleichung (1) falsch ist.

Nach dem gleichen Muster zeigst du, das Gleichung (2) und (3) falsch sind.

Gruß

Hallo,

Der Graph(f) in blau, die erste Tangente durch den Punkt N in orange.

Dein Ansatz ist richtig: die Steigung der zweiten Tangente soll auch 6.75 = 27/4 sein.

Du bildest die Ableitung von f. Die Ableitung ist ein Polynom von Grad 2, deren Graph eine Parabel ist. (grün)

Dann löst du die Gleichung f'(x) = 27/4 . Du wirst 2 Lösungen finden:

x₁ = 2,5 (die kennen wir schon) und x₂ = -3,5 (siehe Punkt P).

Die zweite Tangente ist dann die Tangente im Punkt (-3,5|f(-3,5)), deren Gleichung du wieder berechnen kannst (und ihre Steigung kennst du ja schon).

Gruß