zwei komplexe Lösungen addieren?
Warum darf man hier im Wikipedia Artikel bei dem Punkt: Lösen der Schwingungsgleichung beide komplexen Lösungen also letztendlich y_1 und y_2 addieren?
https://de.wikipedia.org/wiki/Federpendel#L%C3%B6sen_der_Schwingungsgleichung
Danke im Voraus
Liebe Grüße
3 Antworten
Hallo,
man ist von der DGL y'' + ω₀ • y = 0 (*) ausgegangen, was eine lineare homogene DGL 2. Ordnung ist. Die Lösungsfunktionen einer homogenen linearen DGL bilden einen Vektorraum. Das bedeutet, dass die Summe zweier Lösungsfunktionen und (Skalar • Lösungsfkt) auch Lösung der DGL sind. (Eine beliebige Linearkombination von Lösungsfunktionen ist Lösung der DGL).
Beispiel"rechnung" an der DLG (*) :
Seien y₁ und y₂ Lösung der DGL (*), d.h. es gelten die Gleichungen
(1) y₁'' + ω₀ • y₁ = 0
(2) y₂'' + ω₀ • y₂ = 0
Daraus folgt
(y₁ + y₂)'' + ω₀ • (y₁ + y₂)= y₁'' + y₂'' + ω₀ • y₁ + ω₀ • y₂ =
(y₁'' + ω₀ • y₁) + (y₂'' + ω₀ • y₂) = 0 + 0 = 0
also erfüllt die Summefunktion y₁ + y₂ die DGL (*).
Gruß
weil die gleichung linear ist.
Wenn Du Zweifel hast, würde ich durch Bildung der zweiten Ableitung prüfen, ob auch die Summe der beiden Lösungen die ursprüngliche Differentialgleichung löst.
Das tut sie, und daher ist auch die Summe der beiden Lösungen eine Lösung der DGL.