Frage von Mrgamble7, 124

komplexe zahlen gleichung hoch 5 lösen?

hey habe die aufgabe alle komplexen lösungen der gleichung : z^5+32=0 zu bestimmen jemand ne ahnung wie das geht?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Melvissimo, 124

Du weißt (hoffentlich), dass es genau 5 komplexe Zahlen gibt, die die Gleichung x^5 = 1 lösen (du weißt hoffentlich auch, wie diese Zahlen lauten). 

Sagen wir, x0, x1, ..., x4 sind diese 5 Einheitswurzeln.

Sei nun a eine komplexe Zahl mit a^5 = -32. Dann gilt:

(a * x0)^5 = a^5 * (x0)^5 = a^5 * 1 = a^5 = -32.

D.h. auch (a * x0) ist eine Lösung der Gleichung z^5 + 32 = 0.

Entsprechend sind auch a * x1, a * x2 usw Lösungen dieser Gleichung und sie sind alle voneinander verschieden.

Da deine Gleichung eine polynomielle Gleichung fünften Grades ist, kann es gar nicht mehr als 5 Lösungen geben, d.h. du hättest dann alle gefunden.

Letzten Endes brauchst du also nur eine Lösung für die Gleichung zu ermitteln und kannst daraus dann die anderen berechnen.

Kommentar von Mrgamble7 ,

hmm ok wie sieht dass ganze dann in der praxis aus? :D also kannst du die lösung sagen dann versteh ich es bestimmt auch

Kommentar von Mrgamble7 ,

aber zu dem dass es genau 5 komplexe zahlen gibt das wusste ich gar nicht wie kommt man darauf und wie die lauten?

Kommentar von Melvissimo ,

Oh weh :/ dann lies dir mal besser schleunigst den Wikipediaartikel zu "Einheitswurzel" durch :D

Kommentar von Mrgamble7 ,

hab ich aber versteh ich nicht so ganz :/ kannst du vllt den lösungsansatz  schreiben dann würde ich das bestimmt verstehen :D

Kommentar von Mrgamble7 ,

hab das video hier gefunden kann ich das so abschreiben? https://www.youtube.com/watch?v=I497wP4z1J4

Kommentar von Wechselfreund ,

2i ???

Kommentar von Mrgamble7 ,

achso weil i ja -1 ist und 2^5 = 32 oder?

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 70

z^5=-32 | Umkehrfunktion

z= (-32)^(1/5) aber mit 5 Winkeln deshalb besser

z= -(-1)^n*2*(-1)^(n/5)=-2*(-1)^(6*n/5) mit n=1...5

genaue Zahlenwerte der 5 Lösungen unter

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

(dort mit Cardanischen Formeln)

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